Feladat:	1786. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fodor Gyula
Füzet:	1983/február, 92 - 94. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Egyéb párhuzamos erők eredője, Felhajtóerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/május: 1786. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Zárjon be a rúd a függőlegessel $\alpha$ szöget, és merüljön $x$ hosszúságú darabja a vízbe. A rúd felezőpontjában támadó $G$ súlyerő a kitérés szögét csökkenteni, a vízbe merülő rész felezőpontjában ható $F$ felhajtóerő pedig növelni igyekszik.   1. ábra   A felfüggesztési ponton felírt eredő forgatónyomaték (1. ábra): $\begin{array}{c}{\displaystyle M=F\left(l-x/2\right)\text{sin}\alpha -G\cdot l/2\cdot \text{sin}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ (1) Írjuk fel a felhajtóerőt $\left(F=Ax{\varrho }_{\text{víz}}g\right)$, a súlyerőt $\left(G=Al\varrho g\right)$, valamint a vízbe merülő szakasz hosszát $x=l-h/cos\alpha )$, és helyettesítsük be a forgatónyomaték (1) alatti kifejezésébe: $\begin{array}{c}{\displaystyle M=\frac{A{l}^{2}g}{2}\left\{{\varrho }_{\text{víz}}\left[1-{\left(\frac{h}{l\text{cos}\alpha }\right)}^2\right]-\varrho \right\}\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (2) Itt $A$ a rúd keresztmetszet‐területét, $\varrho$ a sűrűségét jelenti. Egyensúly esetén $M=0$. Ez két módon következhet be.   1. $\text{sin}\alpha =0$, azaz a rúd függőleges,   2. $\left\{{\varrho }_{\text{víz}}\left[1-{\left(\frac{h}{l\text{cos}\alpha }\right)}^2\right]-\varrho \right\}=0$.   Az első eset mindig megoldása a feladatunknak ($h$-tól függetlenül). A második eset csak akkor következhet be, ha $h$ már kellően kicsivé vált, lévén $\text{cos}\alpha$ maximális értéke 1: $\begin{array}{c}{\displaystyle h<l\sqrt[]{\frac{{\varrho }_{\text{víz}}-\varrho }{{\varrho }_{\text{víz}}}}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Amíg ez a feltétel nem teljesül, addig a rúd függőleges állású marad, és ez a helyzete stabilis: a forgatónyomaték előjele a kitéréssel ellentétes előjelű [lásd a (2) egyenletet], azaz a pálca visszabillen kis kitérések után egyensúlyi helyzetébe. Ezzel az esettel akkor kell számolnunk, amikor $\varrho \ge {\varrho }_{\text{víz}}$, ill. ha $\varrho <{\varrho }_{\text{víz}}$ esetén a vízszint az edényben még nem érte el a (3) feltétellel megadott magasságot. Mihelyt azonban eléri, a függőleges helyzet mellett egy másik állásban is bekövetkezhet az egyensúly (2. eset), amelyhez tartozó dőlésszögre $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{h}{l}\sqrt[]{\frac{{\varrho }_{\text{víz}}}{{\varrho }_{\text{víz}}-\varrho }}\mathrm{,}}\end{array}$ (4) és a vízbe merülő szakasz hossza ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x=l-\frac{h}{\text{cos}\alpha }=l\left(1-\sqrt[]{\frac{{\varrho }_{\text{víz}}-\varrho }{{\varrho }_{\text{víz}}}}\right)}\hfill \end{array}}$ azaz független a $h$-tól. Most a függőleges rúdállás labilis egyensúlyi helyzetű [a (2) egyenletben az $\alpha =0$ hely környezetében a $\text{sin}\alpha \approx \alpha$ együtthatója pozitív, így a forgatónyomaték tovább billenti a rudat az egyensúlyi helyzetből való kicsiny kitérés után], míg a ferde rúdhelyzet stabilis. A 2. ábrán szemléltetjük a rúd vízbe merülő részének hosszát $h$ függvényében. Szaggatottan a labilis egyensúlyi állapothoz tartozó viszonyokat ábrázoltuk.   a)   b) 2. ábra    Fodor Gyula (Bp., Móricz Zs. Gimn., II. o. t.)  dolgozata alapján