Feladat:	1785. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fodor Gyula
Füzet:	1983/február, 91 - 92. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Bernoulli-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/május: 1785. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Valamely pillanatban legyen a folyadékszintnek a tartály aljától mért távolsága $h$, a víz kiáramlási sebessége $v$, a vízszint csökkenésének sebessége $v\text{'}$, a felső zárt térben levő gáz nyomása pedig $p$. Ha a víz kiáramlása elég lassú, a fölötte levő gáz izotermikusan tágul ki, vagyis a Boyle‐Mariotte‐törvény szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle p\cdot A\cdot \left(l-h\right)=p_1\cdot A\left(l-h_1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A víz összenyomhatatlanságát kifejező egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\text{'}\cdot A=v\cdot T\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Ha az áramlást súrlódásmentesnek és stacionáriusnak tekintjük, akkor a Bernoulli‐törvény értelmében $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1/2\right)\varrho \cdot {v\text{'}}^2+\left(h-h_2\right)g\varrho +p=\left(1/2\right)\varrho \cdot v^2+p_0\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\varrho$ a víz sűrűsége. A három egyenletből $v$ kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\sqrt[]{2\frac{p_1\frac{l-h_1}{l-h}+\varrho g\left(h-h_2\right)-p_0}{\varrho \left[-{\left(\frac{T}{A}\right)}^2\right]}}\mathrm{.}}\end{array}$ A víz kicsurgása addig tart, amíg a vízszint el nem éri a kiömlőnyílás magasságát, vagy pedig a $h_2$ magasságában mért víznyomás még korábban egyenlővé nem válik a külső $p_0$ nyomással. Annak a feltétele, hogy a vízszint egészen $h_2$-ig csökkenjen: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_0<p_1\frac{l-h_1}{l-h_2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $\begin{array}{c}{\displaystyle p_0-\varrho g\left(h_2-h_2\right)<p_1<p_0\frac{l-h_2}{l-h_1}\mathrm{,}}\end{array}$ akkor a vízszint valahol $h_1$ és $h_2$ között egyensúlyba kerül. Az egyensúly feltétele $h^{*}$ magasságnál: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1\frac{l-h_1}{l-h^{*}}+\varrho g\left(h^{*}-h_2\right)=p_0\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenlet $l$-nél kisebb gyöke: $\begin{array}{c}{\displaystyle h^{*}=\frac{\varrho gl+\varrho g{h}_2+p_0-\sqrt[]{{\left(p_0+\varrho g{h}_2-\varrho gl\right)}^2+4p_1\varrho g\left(l-h_1\right)}}{2\varrho g}\mathrm{.}}\end{array}$    Fodor Gyula (Bp., Móricz Zs. Gimn., II. o. t.)