Kezdőlap


Feladat:	1782. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörgő Tamás , Frei Zsolt , Oszlányi Gábor , Pintér Gábor , Törőcsik Jenő , Ván Péter
Füzet:	1983/január, 40 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vastag lencse, Egyéb fénytörés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/április: 1782. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vizsgáljuk meg az $n$ törésmutatójú, $r$ sugarú gömb $O$ középpontján átmenő $e$ egyenesen (optikai tengelyen) elhelyezkedő $A$ pontszerű fényforrásnak a gömb által előállított $B$ képét (1. ábra).

1. ábra

A

-ból kiinduló fénysugarak a gömbbe való belépéskor (a

P

pontban), ill. a gömb elhagyásakor (a

P'

pontban) törnek meg. A beesési, ill. törési szögeket (a gömb szimmetriájának felhasználásával) az ábrán tüntettük fel, és a Snellius‐Descartes-törvény alapján írhatjuk:

\begin{matrix} sin α = n sin β . \end{matrix}

(1)

\bar{O A} = t

tárgytávolság és az

\bar{O B} = k

képtávolság közötti összefüggést kell megkapnunk.
Írjuk fel ezért az

A O P

, ill.

O B P'

háromszögekre a sinustételt:

\begin{matrix} \frac{r}{t} = \frac{sin γ}{sin (π - α)}, & (2) \\ \frac{r}{h} = \frac{sin δ}{sin (π - α)}, & (3) \end{matrix}

és használjuk ki, hogy

\begin{matrix} A O B ∢ = (α - γ) + (π - 2 β) + (α - δ) = π . \end{matrix}

(4)

Az (1)‐(4) egyenletekből a keresett leképzési törvényt könnyen megkaphatjuk, ha paraxiális sugarakra (

γ \approx 0

) szorítkozunk. Ekkor az

α

β

δ

szögek is kicsik, így jó közelítéssel szinuszaik helyett magukat a szögeket írhatjuk. Ennek felhasználásával a fenti egyenletrendszerből a szögek egyszerűen kiküszöbölhetők és az

\begin{matrix} \frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f}, f = \frac{n}{2 (n - 1)} \cdot r \end{matrix}

(5)

leképezési törvényhez jutunk. Könnyen belátható, hogy ez az összefüggés az

A

pontban elhelyezett, a gömb átmérőjéhez képest kis kiterjedésű tárgy leképezését is helyesen (jó közelítéssel) írja le.
Megvizsgálva a kapott (5) egyenletet, láthatjuk, hogy az egy

f

fókusztávolságú vékony lencse leképezését írja le, hiszen mind a tárgy-, mind pedig a képtávolságot a lencse középpontjától mértük. Ez azt jelenti, hogy a gömbnek mint vastag lencsének a fősíkjai egybeesnek és a gömb középpontján haladnak át, vagyis első közelítésben a gömb egy vékony lencsével helyettesíthető, mégpedig

n > 1 (f > 0)

esetén gyűjtő, míg

n < 1 (f < 0)

esetén szóró lencsével.
Vegyük azonban észre, hogy pl.

1 < n < 2

esetén

f < r

, vagyis elegendően távoli tárgy képe a gömbön belül keletkezik. Ez nyilván ernyőn fel nem fogható, ilyen értelemben tehát virtuális. Ebből látszik, hogy az analógia a gömb és egy megfelelő fókuszú vékony lencse leképezése között nem teljes.
A fentiekhez hasonlóan

0 < n < (2 / 3)

(szórólencse) esetében

| f | < r

Csörgő Tamás (Gyöngyös, Berze Nagy J. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján

II. megoldás. A fenti eredményekhez egyszerűbben is eljuthatunk, ha a gömböt egy

r_{1} = r_{2} = r

görbületi sugarú,

d = 2 r

vastagságú lencsének tekintjük.

2. ábra

Egy vastag lencse

f

fókusztávolságát, ill. fősíkjainak

a

b

helyzetét (2. ábra) az 1781. feladat megoldása alapján az

\begin{matrix} f = \frac{\frac{n}{n - 1} \cdot r_{1} \cdot r_{2}}{n (r_{1} + r_{2}) - (n - 1) d}, \\ a = - \frac{d r_{2}}{n (r_{1} + r_{2}) - (n - 1) d}, \\ b = - \frac{d r_{1}}{n (r_{1} + r_{2}) - (n - 1) d}, \end{matrix}

összefüggések adják meg. A fenti képletekbe helyettesítve a gömb adatait

\begin{matrix} f = \frac{n}{2 (n - 1)} \cdot r, a = b = - r adódik . \end{matrix}

Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)