A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Vizsgáljuk meg az törésmutatójú, sugarú gömb középpontján átmenő egyenesen (optikai tengelyen) elhelyezkedő pontszerű fényforrásnak a gömb által előállított képét (1. ábra). 1. ábra Az -ból kiinduló fénysugarak a gömbbe való belépéskor (a pontban), ill. a gömb elhagyásakor (a pontban) törnek meg. A beesési, ill. törési szögeket (a gömb szimmetriájának felhasználásával) az ábrán tüntettük fel, és a Snellius‐Descartes-törvény alapján írhatjuk: Az tárgytávolság és az képtávolság közötti összefüggést kell megkapnunk. Írjuk fel ezért az , ill. háromszögekre a sinustételt:
és használjuk ki, hogy | | (4) | Az (1)‐(4) egyenletekből a keresett leképzési törvényt könnyen megkaphatjuk, ha paraxiális sugarakra () szorítkozunk. Ekkor az , , szögek is kicsik, így jó közelítéssel szinuszaik helyett magukat a szögeket írhatjuk. Ennek felhasználásával a fenti egyenletrendszerből a szögek egyszerűen kiküszöbölhetők és az leképezési törvényhez jutunk. Könnyen belátható, hogy ez az összefüggés az pontban elhelyezett, a gömb átmérőjéhez képest kis kiterjedésű tárgy leképezését is helyesen (jó közelítéssel) írja le. Megvizsgálva a kapott (5) egyenletet, láthatjuk, hogy az egy fókusztávolságú vékony lencse leképezését írja le, hiszen mind a tárgy-, mind pedig a képtávolságot a lencse középpontjától mértük. Ez azt jelenti, hogy a gömbnek mint vastag lencsének a fősíkjai egybeesnek és a gömb középpontján haladnak át, vagyis első közelítésben a gömb egy vékony lencsével helyettesíthető, mégpedig esetén gyűjtő, míg esetén szóró lencsével. Vegyük azonban észre, hogy pl. esetén , vagyis elegendően távoli tárgy képe a gömbön belül keletkezik. Ez nyilván ernyőn fel nem fogható, ilyen értelemben tehát virtuális. Ebből látszik, hogy az analógia a gömb és egy megfelelő fókuszú vékony lencse leképezése között nem teljes. A fentiekhez hasonlóan (szórólencse) esetében . Csörgő Tamás (Gyöngyös, Berze Nagy J. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján II. megoldás. A fenti eredményekhez egyszerűbben is eljuthatunk, ha a gömböt egy görbületi sugarú, vastagságú lencsének tekintjük. 2. ábra Egy vastag lencse fókusztávolságát, ill. fősíkjainak , helyzetét (2. ábra) az 1781. feladat megoldása alapján az
összefüggések adják meg. A fenti képletekbe helyettesítve a gömb adatait | | Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)
|
|