Kezdőlap


Feladat:	1781. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Oszlányi Gábor
Füzet:	1983/január, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vastag lencse, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/április: 1781. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1773. feladat megoldásának gondolatmenetét használjuk fel most is. Gondolatban levágjuk a lencse

n

törésmutatójú domború részét és eltávolítjuk messze a maradék résztől. Az 1773. feladat megoldásának (1) képlete adja meg a képtávolságot erre az esetre. Ezután visszatoljuk a levágott részt az

n

törésmutatójú közeghez úgy, hogy csak egy elhanyagolható vastagságú levegőréteg (plánparalel lemez) maradjon ott. Ennek hatására a képtávolság a (2) képletnek megfelelően változik meg. Esetünkre alkalmazva a fentieket az első gömbfelület leképzése:

\begin{matrix} \frac{1}{t} + \frac{n}{k'} = \frac{n - 1}{r_{1}}, \end{matrix}

(1)

ahol

t

a tárgy távolsága az

r_{1}

sugarú gömbfelülettől.
A keletkező kép a második leképezés számára tárgy, ahol a tárgytávolság

\begin{matrix} t' = d - k' . \end{matrix}

(2)

A második leképezésre

\begin{matrix} \frac{1}{k} + \frac{n}{t'} = \frac{n - 1}{r_{2}} . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és a (3) egyenletekből

\begin{matrix} k = \frac{t [(n - 1) d r_{2} - n r_{1} r_{2}] - d r_{1} r_{2}}{t [d {(n - 1)}^{2} - n (n - 1) (r_{1} + r_{2})] + d r_{1} (n - 1) - n r_{1} r_{2}} . \end{matrix}

(4)

t \to \infty

esetén

k \to f_{1}

, így

\begin{matrix} f_{1} = \frac{n r_{1} r_{2}}{n (n - 1) (r_{1} + r_{2}) - {(n - 1)}^{2} d} - \frac{d r_{2}}{n (r_{1} + r_{2}) - (n - 1) d} . \end{matrix}

(5)

Az indexek cseréjével kapjuk

f_{2}

-t:

\begin{matrix} f_{2} = \frac{n r_{1} r_{2}}{n (n - 1) (r_{1} + r_{2}) - {(n - 1)}^{2} d} - \frac{d r_{1}}{n (r_{1} + r_{2}) - (n - 1) d} . \end{matrix}

(6)

A képtávolság (4) kifejezése meglehetősen bonyolult és az (5), (6) által megadott

f_{1}

, ill.

f_{2}

különböző fókusztávolságok sem könnyen mérhető és használható fizikai mennyiségek. Ezért célszerű bevezetni olyan transzformációt, amely a) a képtávolság kiszámításához könnyebben kezelhető képletet ad és b), amely a jobb és bal oldali fókusztávolságot ugyanannyinak adja. Azaz célszerű olyan transzformációt bevezetni, amely formailag a jól ismert vékony lencsére vezeti vissza a vastag lencsét.
Megmutatjuk, hogy ha a kép és tárgytávolságokat nem a lencse amúgy is nehezen definiálható végétől, hanem az úgynevezett fősíkoktól mérjük, akkor alkalmasan definiált fókusztávolsággal a vastag lencsére is a vékony lencséknél használatos

\begin{matrix} 1 / ϰ + 1 / τ = 1 / φ \end{matrix}

(7)

leképezési törvény lesz igaz, ahol

ϰ

és

τ

a fősíkoktól mért kép- és tárgytávolság,

φ

pedig a transzformációval nyert fókusztávolság.
Az (5) és (6) kifejezésekből elég könnyű meghatározni a fősíkok helyzetét. Vezessük be a

\begin{matrix} d_{1} = \frac{d r_{2}}{n (r_{1} + r_{2}) - (n - 1) d} \end{matrix}

és

\begin{matrix} d_{2} = \frac{d r_{1}}{n (r_{1} + r_{2}) - (n - 1) d} \end{matrix}

új jelöléseket, és vigyük át a

d_{1}

d_{2}

mennyiségeket (5), ill. (6) jobb oldalára. Ekkor az

\begin{matrix} f_{1} + d_{2} = \frac{n r_{1} r_{2}}{n (n - 1) (r_{1} + r_{2}) - {(n - 1)}^{2} d}, & (5') \\ f_{2} + d_{2} = \frac{n r_{1} r_{2}}{n (n - 1) (r_{1} + r_{2}) - {(n - 1)}^{2} d} . & (6') \end{matrix}

egyenleteket kapjuk, amelyeknek a jelentése a következő. Ha a fókusztávolságot nem a lencse végétől, hanem a fősíkoktól mérjük, amelyeket a lencsében a végtől

d_{1}

, ill.

d_{2}

távolságban helyezünk el (lásd az ábrát), akkor a jobb és bal oldali fókusztávolság megegyezik, mégpedig

\begin{matrix} φ = \frac{n r_{1} r_{2}}{n (n - 1) (r_{1} + r_{2}) - {(n - 1)}^{2} d}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{1}{φ} = (n - 1) [\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} - \frac{d (n - 1)}{r_{1} r_{2} n}] . \end{matrix}

Ezzel kielégítettük a b) követelményét. Kicsit hosszadalmasabb, de direkt számítással azt is meg lehetne mutatni, hogy ha a képtávolságot, ill a tárgytávolságot az adott fősíkoktól mérjük azaz ha

\begin{matrix} τ = t + d_{1} és ϰ = k + d_{2} \end{matrix}

akkor a (7) egyenlet adja meg a leképzési törvényt.

Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)