Feladat:	1777. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/február, 88 - 89. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Csúszó súrlódás, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/április: 1777. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha a három test azonos a gyorsulással mozog, akkor a következő mozgásegyenletek érvényesek (l. az 1. ábrát):   1. ábra   ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(M+m_1+m_2\right)a=F\mathrm{,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle m_{1}a=K+S_1\mathrm{,}}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle m_{2}g=K+S_2\mathrm{.}}\hfill & \text{(3)}\end{array}}$ Az $S_1$, $S_2$ tapadási súrlódási erőkre a következő feltételeknek kell teljesülniük: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle -m_{1}g{\mu }_1<S_1<m_{1}g{\mu }_1\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle -m_{2}a{\mu }_2<S_2<m_{2}a{\mu }_2\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\end{array}}$ A kötél csak húzni tud, ezért $K\ge 0$ kell hogy legyen.  (6)   Azokat az $F$, illetve $a$ értékeket kell megkeresnünk, amelyek teljesítik az (1)‐(6) rendszer feltételeit. A (2), (4), és (6) összefüggésekből következik: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{max}\left\{0;\left[m_1\left(a-g{\mu }_1\right)\right]\right\}<K<m_1\left(a+g{\mu }_1\right);}\end{array}$ (7) a (3), (5) és (6) összefüggésekből: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{max}\left\{0;\left[m_2\left(g-a{\mu }_2\right)\right]\right\}<K<m_2\left(g+a{\mu }_2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (8)   2. ábra   3. ábra A 2. és 3. ábra bevonalkázott területei jelzik a (7)-nek és (8)-nak megfelelő lehetséges $a>0$ és $K$ értékeket. $K$-nak olyannak kell lennie, hogy mindkét egyenlőtlenség igaz legyen. Belátható, hogy ha létezik a (7), (8) egyenlőtlenségeknek eleget tevő $a>0$ és $K$ érték, akkor az (1)‐(6) rendszernek van megoldása, és a feladat szövegében leírt mozgás megvalósul. A következő eseteket különböztetjük meg:   $1.m_{2}g<m_{1}g\mu \text{és}{m}_2{\mu }_2>m_1$ azaz ${\mu }_1>m_2/m_1>1/{\mu }_2$.   A 4. ábrán látható, hogy ebben az esetben $a$ bármely pozitív értékére van $K$ megoldás.   4. ábra   $2.m_{2}g<m_{1}g\mu \text{és}{m}_2{\mu }_2>m_1$, azaz ${\mu }_1;1/{\mu }_2>m_2/m_1$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<a<\frac{m_2+{\mu }_1{m}_1}{m_1-{\mu }_2{m}_2}\cdot g}\end{array}$ esetén van $K$ megoldás (5. ábra).   5. ábra   $3.m_{2}g>m_{1}g{\mu }_1\text{ és }{m}_2{\mu }_2>m_1$, azaz $\frac{m_2}{m_1}>{\mu }_1;\frac{1}{{\mu }_2}$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m_2-m_1{\mu }_1}{m_1+m_2{\mu }_2}g<a<\infty }\end{array}$ esetén van $K$ megoldás (6. ábra).   6. ábra   $4.m_{2}g>m_{1}g{\mu }_1\text{ és }{m}_2{\mu }_2<m_1$, azaz ${\mu }_1<\frac{m_2}{m_1}<\frac{1}{{\mu }_2}$. Ebben az esetben pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m_2-{\mu }_1{m}_1}{m_1+{\mu }_2{m}_2}g<a<\frac{m_2+{\mu }_1{m}_1}{m_1-{\mu }_2{m}_2}g}\end{array}$ értékekre van $K$ megoldás (7. ábra).   7. ábra   Megemlítjük, hogy $K$ pontos értéke az indítás körülményeitől, a szál kezdeti feszítettségétől függ.