Feladat:	1775. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Megyesi Gábor
Füzet:	1982/december, 236 - 237. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb ellenállás-kapcsolások, Kirchhoff-törvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/március: 1775. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Definiáljuk az ${\epsilon }_i\left(i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3\right)$ számokat úgy, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\epsilon }_1=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \mathrm{0,}}& {\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ha</span>}{K}_i\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">a földre van kapcsolva</span>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mathrm{1,}}& {\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ha</span>}{K}_i\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">a feszültségforrásra van kapcsolva</span>}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Legyen $R_b$ az árammérő belső ellenállása. Az ábrán kijelöltük az $I_A$, $I_1$, $I_2\text{...}$, $I_6$ áramok irányát, illetve az egyes pontokon mérhető $U_1\mathrm{,}{U}_2\mathrm{,}{U}_3$ feszültség mérési helyét. A Kirchhoff-törvények alapján ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle I_4}& {\displaystyle =I_1-I_A}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle I_5}& {\displaystyle =I_2+I_4}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle I_6}& {\displaystyle =I_3+I_5}\hfill & \text{(3)}\\ \hfill {\displaystyle U_1}& {\displaystyle =R_b\cdot I_A}\hfill & \text{(4)}\\ \hfill {\displaystyle U_2}& {\displaystyle =U_1-R{I}_4}\hfill & \text{(5)}\\ \hfill {\displaystyle U_3}& {\displaystyle =2R{I}_6}\hfill & \text{(6)}\\ \hfill {\displaystyle U_3}& {\displaystyle =U_2-I_{5}R}\hfill & \text{(7)}\end{array}}$ Még három egyenletet kapunk a fenti ${\epsilon }_i$-k felhasználásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle I_i={\epsilon }_i\frac{U}{2R}-\frac{U_i}{2R}\left(i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3\right)}\end{array}$ (8-10) Ez 10 egyenlet, a tíz ismeretlen a 7 áramerősség és a három feszültség. Az egyenletrendszert megoldva kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle I_A=\left(4\cdot {\epsilon }_1+2\cdot {\epsilon }_2+{\epsilon }_3\right)\cdot \frac{U}{8\left(R+R_b\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Így tetszőleges kapcsolóálláshoz megadtuk a mért áramerősséget. Ha az ${\epsilon }_i$-ket egy 8-nál kisebb (azaz háromjegyű) bináris szám számjegyeinek feleltetjük meg, és a kapcsolókat ennek megfelelően állítjuk be, akkor a számmal arányos áramerősséget kapunk. Pl.: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\epsilon }_1=1}& {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle 6\to 110\to {\epsilon }_2=1}& {\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ekkor</span>}{I}_A=6\cdot \frac{U}{8\left(R+R_b\right)}\mathrm{.}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\epsilon }_3=0}\end{array}}$ Ezen az elven működnek a digitál-analóg konverterek, természetesen több kapcsolóval.    Megyesi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)   Megjegyzés. Teljes indukcióval megmutatható, hogy $n$ kapcsoló esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle I_A=\left(\sum _{i=1}^n\cdot \frac{{\epsilon }_i}{2^i}\right)\frac{U}{R+R_b}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha két ilyen hálózat $I_A$ áramát egyazon árammérőn vezetjük keresztül (legyen ekkor $R_b\approx 0$), akkor a beállított két szám összegét mérhetjük. Ha a kijövő áramot egy másik, ismeretlen nagyságú árammal hasonlítjuk össze, akkor egyenlőség esetén, megfelelő kalibrációval digitális árammérőt készítettünk (analóg-digitál konverter).    Megyesi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)