Kezdőlap


Feladat:	1774. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almássy Tamás
Füzet:	1982/december, 235 - 236. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Soros RLC-kör, Soros (feszültség-) rezonancia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/március: 1774. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kondenzátoron mérhető feszültséget megkapjuk, ha impedanciáját megszorozzuk a körben folyó áramerősséggel:

\begin{matrix} U_{C} = [1 / (C ω)] \cdot I . \end{matrix}

Az áramkörben folyó áramerősséget az Ohm törvényből határozhatjuk meg, felhasználva, hogy az áramkör eredő impedanciája

\begin{matrix} \sqrt[]{{(\frac{1}{C ω} - L ω)}^{2} + R^{2}} . \end{matrix}

A fentiek alapján tehát az

\begin{matrix} U_{C} = \frac{U}{C ω \sqrt[]{{[(1 / C ω) - L ω]}^{2} + R^{2}}} \end{matrix}

függvény maximumát kell megkeresnünk.
E célból képezzük e függvény deriváltját

ω

szerint:

\begin{matrix} \frac{d U_{C}}{d ω} = \frac{U}{C} (- \frac{1}{2}) {[{(\frac{1}{C} - L ω^{2})}^{2} + R^{2} ω^{2}]}^{- 3 / 2} [2 (\frac{1}{C} - L ω^{2}) (- 2 L ω) + 2 R^{2} ω] . \end{matrix}

E szorzat első két tényezőjének szorzata egy negatív állandó, a harmadik tényező nyilván pozitív. Az utolsó tényezőből

ω

-t kiemelve, a kapott másodfokú kifejezésről könnyen belátható, hogy a fenti számadatok mellett minden

ω

-ra pozitív.
A derivált függvény értéke tehát

ω > 0

esetén negatív, így az eredeti függvény szigorúan monoton fogyó.
Akkor lesz tehát maximális a kondenzátor feszültsége, ha

ω = 0

, azaz

24 V

egyenfeszültséget kapcsolunk az áramkörre. Ekkor az áramerősség

0

, a kondenzátor feszültsége pedig

24 V

lesz.

Almássy Tamás (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A feladat szövege sajnos hibásan jelent meg. A kondenzátor kapacitása helyesen

25, 33 nF

lett volna. Ilyen kapacitás mellett a derivált függvény utolsó tényezője

ω = 50 270 1 / s

értéknél nulla. Ekkor

f = 8000 1 / s

. Könnyen látható, hogy ilyen körfrekvencián az

U_{C}

függvénynek valóban szélső értéke van, és ez maximum, amelynek értéke

31, 23 V