Feladat:	1773. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Marth Gábor
Füzet:	1983/január, 35 - 36. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb fénytörés, Egyéb optikai leképezés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/március: 1773. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Határozzuk meg először azt, hogy hol keletkezik kép az $n_1$ törésmutatójú közegben a tengelyen levő, a gömbfelülettől $t$ távolságra elhelyezett pontszerű tárgyról! Ezután könnyen meghatározhatjuk a párhuzamosan érkező sugarak további útját.   1. ábra   Az $n_2$ törésmutatójú közeget az 1. ábrán látható módon bontsuk két részre az $e$ egyenes mentén, így az 1. rész egy lencsének tekinthető, a 2. rész pedig egy síklappal határolt közeg. Helyezzünk most a két rész közé egy elhanyagolhatóan kis vastagságú plánparalel lemezt az $n_1$ törésmutatójú anyagból. Mivel ennek vastagsága elhanyagolhatóan kicsi, számításaink szempontjából nem változtatja meg lényegesen a fénysugár útját. Ha az $n_2$ törésmutatójú közeg 1. részét mint lencsét kezeljük, e lencse fókusztávolsága az $\left(n_2/n_1-1\right)\cdot \left(1/r\right)=1/f$ összefüggésből: $\begin{array}{c}{\displaystyle f=\frac{r{n}_1}{n_2-n_1}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt felhasználva meghatározhatjuk, hogy az $n_1$ törésmutatójú közegben a lencsétől $t$ távolságra a tengelyen levő pontból induló fénysugarak hogyan folytatják útjukat az 1. és 2. rész közé helyezett $n_1$ törésmutatójú közegben. Ha 2. rész nem lenne, a fénysugarak a lencsétől $k_1$ távolságban találkoznának. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{n_2-n_1}{r{n}_1}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{t}\mathrm{,}}\end{array}$ innen $\begin{array}{c}{\displaystyle k_1=\frac{n_{1}t}{n_{2}t-n_{1}t-n_{1}r}\mathrm{,}}\end{array}$ Most határozzuk meg, hol találkoznak a fénysugarak a 2. részben!   2. ábra   A törési törvény szerint (l. a 2. ábrát) $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }=\frac{n_2}{n_1}\mathrm{.}}\end{array}$ A 2. ábráról leolvasható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha =\frac{s}{k_1}\mathrm{,}\text{tg}\beta =\frac{s}{k}\mathrm{,}}\end{array}$ és elég kis szögek esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha \approx \text{sin}\alpha \mathrm{,}\text{tg}\beta \approx \text{sin}\beta \mathrm{,}}\end{array}$ így kapjuk $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }=\frac{s/k_1}{s/k}=\frac{k}{k_1}\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{k}{k_1}=\frac{n_2}{n_1}\mathrm{,}\text{így}k=\frac{n_2}{n_1}{k}_1\mathrm{,}}\end{array}$ azaz a lencsétől $\begin{array}{c}{\displaystyle k=\frac{n_{2}rt}{n_{2}t-n_{1}t-n_{1}r}}\end{array}$ (1) távolságra találkoznak a lencsétől $t$ távolságra levő pontból induló fénysugarak. Határozzuk meg most az $n_1$ törésmutatójú közegből párhuzamosan érkező fénysugarak útját. Ekkor a tárgytávolságot végtelennek választva az előbbi összefüggés alapján a fénysugarak a lencsétől: $\begin{array}{c}{\displaystyle k\text{'}=\underset{t\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{n_{2}rt}{n_{2}t-n_{1}t-n_{1}r}=\frac{n_{2}r}{n_2-n_1}}\end{array}$ távolságban találkoznak. Ha a párhuzamos sugárnyaláb az $n_2$ közegből érkezik, az (1) összefüggést úgy használjuk fel, hogy $k$ értékét végtelennek választjuk. Ehhez előbb az (1) összefüggést rendezzük át $t$-re: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{n_{1}rk}{n_{2}k-n_{1}k-n_{1}r}\mathrm{.}}\end{array}$ Így az $n_2$ törésmutatójú közegből párhuzamosan érkező fénysugarak a lencsétől $\begin{array}{c}{\displaystyle t\text{'}=\underset{k\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{n_{1}rk}{n_{2}k-n_{1}k-n_{2}r}=\frac{n_{1}r}{n_2-n_1}}\end{array}$ távolságban találkoznak. Az ábrák az $n_2>n_1$ esetet tükrözik. A számítások azonban $n_2<n_1$ esetén is hasonlóak.    Marth Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)  dolgozata alapján