A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A tárgyról az 1. lencse a képet alkotja, amit a 2. lencse mint (virtuális) tárgyat újra leképez, így a két lencséből álló optikai rendszer együttesen a képet hozza létre. 1. ábra Az 1. ábra jelöléseit alkalmazva a leképzési törvény szerint valamint leolvasható, hogy Az (1a)‐(1c) egyenletekből -t és -t kiküszöbölve a rendszer megoldását a | | (2a) | összefüggés írja le. esetén (2a)-t így is írhatjuk: | | (2b) | Végtelen távoli tárgy (az optikai tengellyel párhuzamos fénysugarak) esetén a kép (2b) szerint a által jellemzett képoldali fókuszponton keletkezik. Hasonlóan kapjuk az tárgyoldali fókuszpont helyzetét jellemző képletet. 2. ábra Az összetartozó tárgy- és képtávolságokat a (2b) összefüggés alapján a 2. ábra szemlélteti, míg esetén (Kepler-távcső) (2a)-ból kapjuk: Ezt az összefüggést a 3. ábrán ábrázoltuk.
3. ábra Térjünk rá ezek után arra, hogyan alakíthatnánk át az összetartozó tárgy- és képtávolságokat leíró (2b) egyenletünket úgy, hogy a megszokott , vagy az ezzel ekvivalens (Newton-formula) alakú legyen. Ez utóbbi egyenlet alakját (2b)-vel összehasonlítva vegyük észre, hogy kétlencsés rendszerünk eredő fókusztávolságát a | | összefüggések definiálják. Tekintsük először a esetet, és vezessük be a jelöléseket, vagyis mérjük a tárgy- és képtávolságokat a | | fősíkoktól. (Lásd az 1764. feladat megoldását!) Ebben az esetben (2b) a kívánt vagy vagy alakban írható. Foglalkozzunk ezek után a esettel. Az előbbiekhez hasonlóan az új tárgy- és képtávolságok amelyek ill. fősíkoktól mérendők. Ezek segítségével (2b)-t a következő alakban írhatjuk: vagy | | (2d) | Tehát mind a (3a), (3b), mind pedig a (4a), (4b) transzformációk segítségével sikerült átírnunk (2b)-t a kívánt alakra. Zavaró azonban, hogy a fentiek alapján a rendszer fősíkjainak helyzete nem egyértelmű; attól függően, hogy melyik transzformációt alkalmazzuk, helyzetük különbözik. Arra gondolhatunk, hogy a (3a), (3b), ill. a (4a), (4b) egyenletek közül csak az egyik írja le helyesen a valóságos viszonyokat. Elvárjuk például, hogy esetén egy fókusztávolságú, vékony lencse jól ismert ill. leképezési törvényét kapjuk vissza (itt most és az 1. ábrán jelölt távolságokat jelöli), amelynek ‐ mint vékony lencsének ‐ fősíkjai egybeesnek. Valóban, ez a és a (3a), (3b) egyenletek alapján adódó , ill. fősíkok esetén láthatóan teljesül, míg a második transzformáció esetén nem. Ezért azt mondhatjuk, hogy (legalábbis a esetén) a rendszer viselkedését, ill. fősíkjainak helyzetét az | | összefüggések adják vissza helyesen. Bebizonyítható, (pl. képszerkesztéssel), hogy ez esetén is igaz. Mi az oka tehát a látszólagos kétértelműségnek? Az egyszerűség kedvéért vizsgáljuk meg ezt egy fő fókusztávolságú vékony gyűjtőlencse példáján. A leképezési törvény alapján a lencsénk képalkotását az egyenlet írja le, ahol a , ill. kép- ill. tárgytávolságokat a szokásos módon a lencsétől mérjük (4. ábra). 4. ábra Könnyen ellenőrizhető, hogy (5) az alakban is írható, vagyis ha a tárgy- és képtávolságokat az optikai tengely , ill. pontjain átmenő , ill. fősíkoktól mérjük, akkor egy fókusztávolságú szórólencse egyenletét kapjuk. A 4. ábrán a tárgy képét megszerkesztettük a szokásos módon (folytonos vonal), ill. (6) alapján a fősíkok felhasználásával is (szaggatott vonal) (l. az 1764. feladat megoldását). Láthatjuk, hogy a szerkesztés szerint is mind az (5), mind pedig a (6) összefüggés helyesen írja le az összetartozó kép- és tárgytávolságokat, de a (6) a valóságban keletkező képhez képest a fordított állású képet adja. Ebből az következik, hogy bár (6) matematikailag egyenértékű átírása (5)-nek, a valóságos képviszonyokat az (5) alapján végzett szerkesztéssel kapjuk. A példánkhoz hasonlóan ‐ kissé hosszadalmasabban ‐ belátható, hogy kétlencsés rendszerünk esetén is akkor kapunk helyes állású képet, ha szerkesztésünkben a (3a), (3b) transzformációkból adódó fősíkokat használjuk fel. |