Kezdőlap


Feladat:	1772. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1982/november, 182 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lencserendszerek, Vastag lencse, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/március: 1772. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $T$ tárgyról az 1. lencse a $K'$ képet alkotja, amit a 2. lencse mint (virtuális) tárgyat újra leképez, így a két lencséből álló optikai rendszer együttesen a $K$ képet hozza létre.

1. ábra

Az 1. ábra jelöléseit alkalmazva a leképzési törvény szerint

\begin{matrix} (1 / k') + (1 / t) = (1 / f_{1}), \end{matrix}

(1a)

\begin{matrix} (1 / t') + (1 / k) = (1 / f_{2}), \end{matrix}

(1b)

valamint leolvasható, hogy

\begin{matrix} k' + t' = d . \end{matrix}

(1c)

Az (1a)‐(1c) egyenletekből

k'

-t és

t'

-t kiküszöbölve a rendszer megoldását a

\begin{matrix} k t (f_{1} + f_{2} - d) - t f_{2} (f_{1} - d) - k f_{1} (f_{2} - d) = f_{1} f_{2} d \end{matrix}

(2a)

összefüggés írja le.

d \neq f_{1} + f_{2}

esetén (2a)-t így is írhatjuk:

\begin{matrix} [k - \frac{f_{2} (d - f_{1})}{d - f_{1} - f_{2}}] [t - \frac{f_{1} (d - f_{2})}{d - f_{1} - f_{2}}] = {[\frac{f_{1} f_{2}}{d - f_{1} - f_{2}}]}^{2} . \end{matrix}

(2b)

Végtelen távoli tárgy (az optikai tengellyel párhuzamos fénysugarak) esetén a kép (2b) szerint a

\begin{matrix} k = \frac{f_{2} (d - f_{1})}{d - f_{1} - f_{2}} \end{matrix}

által jellemzett

F_{2}

képoldali fókuszponton keletkezik. Hasonlóan kapjuk az

F_{1}

tárgyoldali fókuszpont helyzetét jellemző

\begin{matrix} t = \frac{f_{1} (d - f_{2})}{d - f_{1} - f_{2}} \end{matrix}

képletet.

2. ábra

Az összetartozó tárgy- és képtávolságokat a (2b) összefüggés alapján a 2. ábra szemlélteti, míg

d = f_{1} + f_{2}

esetén (Kepler-távcső) (2a)-ból kapjuk:

\begin{matrix} \frac{t}{f_{1} + f_{2}} + \frac{k}{f_{1} + f_{2}} = 1. \end{matrix}

Ezt az összefüggést a 3. ábrán ábrázoltuk.

3. ábra

Térjünk rá ezek után arra, hogyan alakíthatnánk át az összetartozó tárgy- és képtávolságokat leíró (2b) egyenletünket úgy, hogy a megszokott

(1 / k) + (1 / t) = (1 / f)

, vagy az ezzel ekvivalens

(k - f) (t - f) = f^{2}

(Newton-formula) alakú legyen.
Ez utóbbi egyenlet alakját (2b)-vel összehasonlítva vegyük észre, hogy kétlencsés rendszerünk eredő fókusztávolságát a

\begin{matrix} φ = - \frac{f_{1} f_{2}}{d - f_{1} - f_{2}}, vagy φ' = \frac{f_{1} f_{2}}{d - f_{1} - f_{2}} \end{matrix}

összefüggések definiálják.
Tekintsük először a

φ = - \frac{f_{1} f_{2}}{d - f_{1} - f_{2}}

(d \neq f_{1} + f_{2})

esetet, és vezessük be a

\begin{matrix} τ = t - \frac{f_{1} d}{d - f_{1} - f_{2}} \end{matrix}

(3a)

\begin{matrix} κ = k - \frac{f_{2} d}{d - f_{1} - f_{2}} \end{matrix}

(3b)

jelöléseket, vagyis mérjük a tárgy- és képtávolságokat a

\begin{matrix} h_{1} (t = \frac{f_{1} d}{d - f_{1} - f_{2}}) ill. a h_{2} (k = \frac{f_{2} d}{d - f_{1} - f_{2}}) \end{matrix}

fősíkoktól. (Lásd az 1764. feladat megoldását!) Ebben az esetben (2b) a kívánt vagy

\begin{matrix} (κ - φ) (τ - φ) = φ^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} (1 / κ) + (1 / τ) = (1 / φ) \end{matrix}

(2c)

alakban írható.
Foglalkozzunk ezek után a

φ' = \frac{f_{1} f_{2}}{d - f_{1} - f_{2}}

esettel. Az előbbiekhez hasonlóan az új tárgy- és képtávolságok

\begin{matrix} τ' = t - f_{2} \frac{d - 2 f_{1}}{d - f_{1} - f_{2}}, \end{matrix}

(4a)

\begin{matrix} κ' = k - f_{1} \frac{d - 2 f_{2}}{d - f_{1} - f_{2}}, \end{matrix}

(4b)

amelyek

h_{1}'

t = f_{2} \frac{d - 2 f_{1}}{d - f_{1} - f_{2}}

ill.

h_{2}'

k = f_{1} \frac{d - 2 f_{2}}{d - f_{1} - f_{2}}

fősíkoktól mérendők. Ezek segítségével (2b)-t a következő alakban írhatjuk:

\begin{matrix} (κ' - φ') (τ' - φ') = {(φ')}^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} (1 / κ') + (1 / τ') = (1 / φ') . \end{matrix}

(2d)

Tehát mind a (3a), (3b), mind pedig a (4a), (4b) transzformációk segítségével sikerült átírnunk (2b)-t a kívánt

(1 / k) + (1 / t) = (1 / f)

alakra.
Zavaró azonban, hogy a fentiek alapján a rendszer fősíkjainak helyzete nem egyértelmű; attól függően, hogy melyik transzformációt alkalmazzuk, helyzetük különbözik.
Arra gondolhatunk, hogy a (3a), (3b), ill. a (4a), (4b) egyenletek közül csak az egyik írja le helyesen a valóságos viszonyokat. Elvárjuk például, hogy

d = 0

esetén egy

f = \frac{f_{1} f_{2}}{f_{1} + f_{2}}

fókusztávolságú, vékony lencse jól ismert

(k - f) (t - f) = f^{2}

ill.

\frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}

leképezési törvényét kapjuk vissza (itt most

k

és

t

az 1. ábrán jelölt távolságokat jelöli), amelynek ‐ mint vékony lencsének ‐ fősíkjai egybeesnek.
Valóban, ez a

φ = \frac{- f_{1} f_{2}}{d - f_{1} - f_{2}}

és a (3a), (3b) egyenletek alapján adódó

h_{1}

, ill.

h_{2}

fősíkok esetén láthatóan teljesül, míg a második transzformáció esetén nem.
Ezért azt mondhatjuk, hogy (legalábbis a

0 ≦ d < f_{1} + f_{2}

esetén) a rendszer viselkedését, ill. fősíkjainak helyzetét az

\begin{matrix} (1 / κ) + (1 / τ) = (1 / φ), \end{matrix}

\begin{matrix} φ = - \frac{f_{1} f_{2}}{d - f_{1} - f_{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} τ = t - \frac{f_{1} d}{d - f_{1} - f_{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} κ = k - \frac{f_{2} d}{d - f_{1} - f_{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} h_{1}' (t = \frac{f_{1} d}{d - f_{1} - f_{2}}), h_{2} (k = \frac{f_{2} d}{d - f_{1} - f_{2}}) \end{matrix}

összefüggések adják vissza helyesen.
Bebizonyítható, (pl. képszerkesztéssel), hogy ez

d > f_{1} + f_{2}

esetén is igaz.
Mi az oka tehát a látszólagos kétértelműségnek? Az egyszerűség kedvéért vizsgáljuk meg ezt egy fő fókusztávolságú vékony gyűjtőlencse példáján.
A leképezési törvény alapján a lencsénk képalkotását az

\begin{matrix} (1 / k_{0}) + (1 / t_{0}) = (1 / f_{0}) \end{matrix}

(5)

egyenlet írja le, ahol a

k_{0}

, ill.

t_{0}

kép- ill. tárgytávolságokat a szokásos módon a lencsétől mérjük (4. ábra).

4. ábra

Könnyen ellenőrizhető, hogy (5) az

\begin{matrix} \frac{1}{k_{0} - 2 f} + \frac{1}{t_{0} - 2 f} = - \frac{1}{f_{0}} \end{matrix}

(6)

alakban is írható, vagyis ha a tárgy- és képtávolságokat az optikai tengely

H_{0} (t_{0} = 2 f)

, ill.

H_{0}' (k_{0} = 2 f)

pontjain átmenő

h_{0}

, ill.

h_{0}'

fősíkoktól mérjük, akkor egy

f_{0}

fókusztávolságú szórólencse egyenletét kapjuk. A 4. ábrán a

T

tárgy képét megszerkesztettük a szokásos módon (folytonos vonal), ill. (6) alapján a fősíkok felhasználásával is (szaggatott vonal) (l. az 1764. feladat megoldását).
Láthatjuk, hogy a szerkesztés szerint is mind az (5), mind pedig a (6) összefüggés helyesen írja le az összetartozó kép- és tárgytávolságokat, de a (6) a valóságban keletkező

K

képhez képest a fordított állású

K'

képet adja. Ebből az következik, hogy bár (6) matematikailag egyenértékű átírása (5)-nek, a valóságos képviszonyokat az (5) alapján végzett szerkesztéssel kapjuk.
A példánkhoz hasonlóan ‐ kissé hosszadalmasabban ‐ belátható, hogy kétlencsés rendszerünk esetén is akkor kapunk helyes állású képet, ha szerkesztésünkben a (3a), (3b) transzformációkból adódó fősíkokat használjuk fel.