Kezdőlap


Feladat:	1771. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Megyesi Gábor , Menyhárd Miklós
Füzet:	1982/december, 233 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb körfolyamatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/március: 1771. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a körfolyamatot megadó kör egyenlete

\begin{matrix} {(p - A)}^{2} + {(V - B)}^{2} = C^{2} \end{matrix}

és a körfolyamat iránya legyen az 1. ábrának megfelelő.

1. ábra

Ekkor egy hőerőgépünk van, amely hőtartályokból hőt vesz fel, illetve azoknak hőt ad le és munkát végez. A hatásfok

(η)

definíciója

\begin{matrix} η = W / Q, \end{matrix}

(1)

ahol

W

a hőerőgép által végzett munka,

Q

pedig a hőtartályokból felvett hő. A munka kiszámítása jól ismert:

W

a körfolyamat által a

p - V

diagramon bezárt területtel egyenlő. A hatásfok kiszámításához így már csak az összes felvett hőt kell meghatároznunk. Egyszerűség kedvéért a továbbiakban csak ideális gázra vonatkozó tárgyalásra szorítkozunk. (A gondolatmenet természetesen általánosan használható.)
Az állandó nyomáson, térfogaton mért fajhőket ismerjük. Ezért célszerűnek látszik az általános állapotváltozásokat állandó nyomású, illetve térfogatú állapotváltozások összegeként létrehozni. Tekintsük a 2. ábrán látható állapotváltozást, amelyet a

p = p (V)

függvény jellemez.

2. ábra

Ezt helyettesíthetjük az ábrán berajzolt lépcsős görbével, ami állandó nyomású, ill. térfogatú állapotváltozásokból áll. Könnyű belátni, hogy a

p (V)

függvény a lépcsős függvénnyel jól megközelíthető, tehát azt helyettesítheti. Próbáljuk meg a lépcsős függvényre kiszámolni a felvett hőt.
Tekintsük a

V_{0} p_{0} \to (V_{0} + d V) p_{0}

állandó nyomású állapotváltozást. A felvett hő

\begin{matrix} Δ Q_{p} = C_{p} m Δ T . \end{matrix}

(2)

Δ T

-t a

\begin{matrix} p V = m R T \end{matrix}

egyenletből kaphatjuk meg,

\begin{matrix} p_{0} V_{0} = m R T_{0}, p_{0} (V_{0} + d V) = m R T' \end{matrix}

és így

\begin{matrix} Δ T = T' - T_{0} = (p_{0} / m R) d V . \end{matrix}

Ezt (2)-be behelyettesítve kapjuk:

\begin{matrix} Δ Q_{p} = (C_{p} / R) p_{0} d V . \end{matrix}

(3)

Ugyanilyen módon határozhatjuk meg az állandó térfogatú állapotváltozás során felvett hőt is, amire

\begin{matrix} Δ Q_{V} = (C_{V} / R) V_{0} d p \end{matrix}

(4)

adódik. A körfolyamat

p_{0} V_{0} \to (p_{0} + d p) (V_{0} + d V)

elemi lépése alatt felvett hő tehát

\begin{matrix} Δ Q = Δ Q_{p} + Δ Q_{V} . \end{matrix}

(5)

Azt kell megvizsgálnunk, hogy (5) a körfolyamat mely pontjaiban pozitív, mert a körfolyamat ezen részén vesz fel hőerőgépünk hőt.
Az állandó nyomású állapotváltozáskor a gáz akkor vesz fel hőt, ha a gáz tágul

(d V > 0)

, azaz a megadott irány esetén az

1 - 2 - 3

szakaszon. A (4) kifejezés viszont a

4 - 1 - 2

szakaszon pozitív

(d p > 0)

, azaz az állandó térfogatú állapotváltozások során a

4 - 1 - 2

szakaszon hőfelvétel történik. Ebből következik, hogy az

1 - 2

szakaszon biztosan hőfelvétel van (hiszen mindkét elemi folyamat hőt vesz fel). A

2 - 3

szakaszon viszont az állandó nyomású elemi folyamat során hőfelvétel van, míg az állandó térfogatú elemi folyamat során hőleadás történik. (5) akkor pozitív, ha

\begin{matrix} Δ Q_{p} > | Δ Q_{V} |, \end{matrix}

Jelöljük

Y

-nal azt a pontot, ameddig a hőfelvétel tart. Itt

Δ Q_{p} = | Δ Q_{V} |

, így (3) és (4) alapján

\begin{matrix} \frac{d p}{d V} = \frac{C_{p}}{C_{Y}} \cdot \frac{P_{Y}}{V_{Y}} . \end{matrix}

A kör egyenletét is felhasználva az

A, B, C

paraméterek ismeretében az

Y

pont numerikus megkeresése elég könnyű. A

3 - 4

szakaszon mindkét elemi változás során hőleadás van, tehát (5) negatív. A

4 - 1

szakaszon ugyanúgy, mint előbb, megkereshetjük az

X

pontot, amitől kezdve (5) ismét pozitív, azaz hőfelvétel van. A körfolyamat során tehát az

X - Y

szakaszon van hőfelvétel. A teljes felvett hőt ismét az állandó nyomású, illetve térfogatú elemi folyamatok segítségével számoljuk ki.
Először azt számítjuk ki, hogy az állandó nyomású folyamatnál mekkora a hőfelvétel (ill. leadás) az

X - Y

szakaszon. Az

1 - Y

szakaszon hőfelvétel van:

\begin{matrix} Q_{p}^{1 - Y} = \int_{V_{1}}^{V_{Y}} \frac{C_{p}}{R} p d V . \end{matrix}

(6)

Vegyük észre, hogy ez éppen az

1 - Y

görbeszakasz alatti terület szorozva

(C_{p} / R)

-rel. Az

X - 1

szakaszon hőt ad le a gáz az állandó nyomású elemi folyamatoknál, mégpedig

\begin{matrix} Q_{p}^{X - 1} = \int_{V_{X}}^{V_{1}} \frac{C_{p}}{R} p d V . \end{matrix}

(7)

Tehát az állandó nyomású elemi folyamatok során az

X - Y

szakaszon felvett hő (6) és (7) különbsége:

\begin{matrix} Q_{p}^{X - Y} = Q_{p}^{1 - Y} - Q_{p}^{X - 1} . \end{matrix}

Ugyanígy járunk el az állandó térfogatú részfolyamatoknál is. Az

X - 2

szakaszon hőfelvétel történik:

\begin{matrix} Q_{V}^{X - 2} = \int_{P_{X}}^{P_{1}} \frac{C_{V}}{R} V d p . \end{matrix}

(8)

A (8) integrál egyenlő, a görbe ,,melletti'' terület (3. ábra) és

C_{V} / R

szorzatával.

3. ábra

2 - Y

szakaszon hőleadás van:

\begin{matrix} Q_{V}^{2 - Y} = \int_{P_{2}}^{P_{Y}} \frac{C_{V}}{R} V d p . \end{matrix}

(9)

X - Y

szakaszon felvett teljes hőt (az állandó nyomású és térfogatú elemi lépésekben felvett teljes hőt) (6)‐(9)-ből kapjuk:

\begin{matrix} Q = Q_{p}^{1 - Y} + Q_{V}^{X - 2} - Q_{p}^{X - 1} - Q_{V}^{2 - Y} . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve (1)-be a hatásfok kiszámítható.

Menyhárd Miklós