Feladat:	1770. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frei Zsolt ,  Pintér Gábor
Füzet:	1982/december, 232 - 233. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Gördülés lejtőn, Merev test impulzusnyomatéka (perdülete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/március: 1770. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az ábrán külön-külön feltüntettük a kutyára, ill. a hengerre ható erőket: $N$ a kutya és henger közti nyomóerő, $F$ a kutya által kifejtett érintő irányú erő, $S$ pedig a lejtő és a henger közti (tapadási) súrlódási erő nagysága. Mind a henger, mind a kutya $a$ gyorsulással mozog a lejtőn lefelé. A mozgásegyenletek a henger haladó mozgására: $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\text{sin}\alpha +N\text{sin}\alpha +F\text{cos}\alpha -S=ma\mathrm{,}}\end{array}$ (1) a henger forgására $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(F+S\right)r=\Theta \beta =\left(1/2\right)m{r}^2\cdot \left(a/r\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (2) és a kutya mozgására a lejtővel párhuzamos, ill. arra merőleges irányban: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle m_{1}g\text{sin}\alpha -N\text{sin}\alpha -F\text{cos}\alpha =m_{1}a\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle m_{1}g\text{cos}\alpha +F\text{sin}\alpha -N\text{cos}\alpha =0.}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\end{array}}$ A (2) egyenlet felírásánál kihasználtuk a henger csúszás nélküli gördüléséből eredő $\beta =a/r$ összefüggést a forgó mozgás szöggyorsulása és a haladó mozgás gyorsulása között, valamint a tehetetlenségi nyomaték $\Theta =\left(1/2\right)m{r}^2$ kifejezését a henger szimmetriatengelyére (súlyponti tengelyére) vonatkozóan. A fenti egyenletrendszert az $a$ gyorsulásra megoldva $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{\left(m+m_1\right)\text{sin}\alpha }{\left(3/2\right)m+m_1\left(1+\text{cos}\alpha \right)}g\mathrm{.}}\end{array}$ (5)    Pintér Gábor (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., III. o. t.)   II. megoldás. Vizsgáljuk most úgy a rendszer mozgását, hogy viszonyítási pontként az $A$ ponton átmenő pillanatnyi forgástengelyt választjuk. A kutya mindig a henger legfelső pontján van. Ebből az következik, hogy a pillanatnyi forgástengely és a rendszer tömegközéppontja párhuzamosan mozog. Az ilyen rendszerre a mozgásegyenlet $\begin{array}{c}{\displaystyle M=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">d</span>}{N}^{*}/\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">d</span>}t}\end{array}$ (6) alakban érvényes, ahol $M$ és $N^{*}$ a mozgó forgástengelyre vonatkozó forgatónyomatékot, ill. impulzusnyomatékot jelentik: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle M=\left(m+m_1\right)gr\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>7</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle N^{*}={\Theta }_A\omega +m_{1}r\left(1+\text{cos}\alpha \right)v\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>8</mn>)}\end{array}}$ Az impulzusnyomaték kifejezésében ${\Theta }_A=\left(3/2\right)m{r}^2$ (a hengernek az $A$ forgástengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka), az $\omega$ pillanatnyi szögsebesség a tömegközéppont $v$ sebességével $\omega =v/r$ összefüggésben áll. A keresett gyorsulás a (7) és a (8) egyenleteknek (6)-ba történő beírásából adódik, és az első megoldásban kapott (5) összefüggéssel egyezik meg.    Frei Zsolt (Pécs, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)