Feladat: 1767. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Erdős László ,  Kovács Tamás ,  Simon Péter ,  Vereb György 
Füzet: 1982/november, 179 - 180. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/március: 1767. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vegyük fel a koordináta-rendszerünket úgy, hogy benne a lejtő a Z=0 egyenletű sík legyen, az x tengely legyen a feldobási ponton áthaladó esésvonal, az y tengely pedig ugyanezen a ponton áthaladó szintvonal (l. az 1. ábrát).

 

1. ábra
 

Az origóból elindított testek mindenkor egy gömbfelületen helyezkednek el, amelynek középpontja g-vel szabadon esik, sugara pedig v0t szerint tágul (t=0 időpillanatban történt a dobás). A gömb egyenlete:
[x-(g/2)sinαt2]2+y2+[z+(g/2)cosαt2]2=v02t2(1)
A t időpillanatban a becsapódás x, y koordinátái kielégítik az
[x-(g/2)sinαt2]2+[(g/2)cosαt2]2=v02t2(2)
egyenletet.
Rögzített x mellett keressük y szélsőértékét! t2-nek egy másodfokú függvényéről van szó, amely a maximumát
t2=v2+xgsinα2(g/2)2
esetén veszi fel, a maximum értéke
y2=(v2+xgsinα)2g2-x2.(3)
Ezt az egyenlőséget rendezve kapjuk a következő összefüggést:
y2(v2/gcosα)2+[x-v2sinα/(gcosα)]2(v2/gcos2α)2=1.(4)
Ez a becsapódások helyét határoló ellipszis egyenlete, amelyen belül minden pontba (a határra is) eshetnek a testek. Az origó az ellipszis egyik fókusza.
 

 Kovács Tamás (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., II. o. t.)
 dolgozata alapján
 

II. megoldás. Vegyünk fel a lejtő síkjában egy polárkoordináta-rendszert, amelynek tengelye a dobási pontból induló esésvonal. Minden eldobott test pályájának a lejtő síkjára vett függőleges vetülete egy e félegyenes, ennek polárszögét jelöljük φ-vel, a vízszintessel bezárt szögét γ-val (2. ábra).
 

2. ábra
 

Keressük az e félegyenes mentén azt a legtávolabbi pontot, ahol leeshetnek a testek, ennél közelebb levő bármely pontra irányítható a dobás kisebb vagy nagyobb szögű hajítással.
A γ és α szög közötti összefüggés a Pitagorasz-tétel alapján:
cos2γ=1-cos2φsin2α.(5)

A C becsapódási pont távolsága 0-tól, a β hajítási szög függvényében: (2. ábra)
s=sin(2β+γ)+sinγgcos2γv2.(6)
Ennek β=135-(γ/2) esetén van maximuma, amelynek értéke
smax=v2g(1-sinγ).(7)
(5) alapján:
smax=v2g(1-cosφsinα).
Ez egy ellipszis polárkoordinátás egyenlete, a becsapódási helyek határoló görbéjének az egyenlete.
 

 Erdős László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)