A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Vegyük fel a koordináta-rendszerünket úgy, hogy benne a lejtő a egyenletű sík legyen, az tengely legyen a feldobási ponton áthaladó esésvonal, az tengely pedig ugyanezen a ponton áthaladó szintvonal (l. az 1. ábrát).
1. ábra Az origóból elindított testek mindenkor egy gömbfelületen helyezkednek el, amelynek középpontja -vel szabadon esik, sugara pedig szerint tágul ( időpillanatban történt a dobás). A gömb egyenlete: | | (1) | A időpillanatban a becsapódás , koordinátái kielégítik az | | (2) | egyenletet. Rögzített mellett keressük szélsőértékét! -nek egy másodfokú függvényéről van szó, amely a maximumát esetén veszi fel, a maximum értéke Ezt az egyenlőséget rendezve kapjuk a következő összefüggést: | | (4) | Ez a becsapódások helyét határoló ellipszis egyenlete, amelyen belül minden pontba (a határra is) eshetnek a testek. Az origó az ellipszis egyik fókusza.
Kovács Tamás (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
II. megoldás. Vegyünk fel a lejtő síkjában egy polárkoordináta-rendszert, amelynek tengelye a dobási pontból induló esésvonal. Minden eldobott test pályájának a lejtő síkjára vett függőleges vetülete egy félegyenes, ennek polárszögét jelöljük -vel, a vízszintessel bezárt szögét -val (2. ábra). 2. ábra Keressük az félegyenes mentén azt a legtávolabbi pontot, ahol leeshetnek a testek, ennél közelebb levő bármely pontra irányítható a dobás kisebb vagy nagyobb szögű hajítással. A és szög közötti összefüggés a Pitagorasz-tétel alapján: A becsapódási pont távolsága -tól, a hajítási szög függvényében: (2. ábra) | | (6) | Ennek esetén van maximuma, amelynek értéke (5) alapján: Ez egy ellipszis polárkoordinátás egyenlete, a becsapódási helyek határoló görbéjének az egyenlete.
Erdős László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.) |