Kezdőlap


Feladat:	1766. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cserei Ferenc , Erdélyi Róbert , Gyöngyösi Péter , Károlyi Gyula , Kiss Péter , Novák Béla , Papp Gábor , Szállási Zoltán , Varga Kálmán
Füzet:	1982/december, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellenállások soros kapcsolása, Áram hőhatása (Joule-hő), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: 1766. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1. ábra szerint az

R

ellenállást két részre bontjuk. Az izzóval párhuzamosan kapcsoljuk az

R α

részt, sorosan az

R (1 - α)

részt.

1. ábra

Az izzó üzemszerű működésének feltétele, hogy az

R α

részen

6 V

feszültség essék, így az

\begin{matrix} r = \frac{6 V}{300 W / 6 V} = 0, 12 Ω \end{matrix}

ellenállású izzón is a szükséges

6 V

esik. Ezért a fent definiált

α

paraméter nem futhatja be a teljes

0 < α < 1

tartományt,

α

nem lehet

6 / 220

-nál kisebb, hiszen akkor a

220 V

-ból biztosan kevesebb, mint

6 V

esik csak az izzón.
Az

A

pontra felírva Kirchhoff csomóponti törvényét (az izzón

50 A

folyik mindig)

\begin{matrix} \frac{214 V}{R (1 - α)} = \frac{6 V}{α R} + 50 A . \end{matrix}

(1)

Kifejezve (1)-ből

R

-et

\begin{matrix} R = \frac{220 α - 6}{50 α (1 - α)} Ω . \end{matrix}

(2)

A teljes kör eredő ellenállása:

\begin{matrix} R_{e} = (1 - α) R + \frac{α r R}{r + α R} = \frac{r R + α (1 - α) R^{2}}{α R + r} . \end{matrix}

(3)

A teljes felvett teljesítmény

(U = 220 V)

\begin{matrix} P_{e} = \frac{U^{2}}{R_{e}} . \end{matrix}

(4)

(3) és (4) felhasználásával:

\begin{matrix} P_{e} = U^{2} \frac{α + (r / R)}{r + α (1 - α) R} . \end{matrix}

(5)

Az elveszett teljesítmény:

P_{v} = P_{e} - 300 W

, tehát a minimuma ugyanott van, mint (5) minimuma. Ugyanitt van a hatásfok

(η = 300 W / P_{e})

maximuma is.
(2) alapján az elveszett teljesítmény

\begin{matrix} P_{v} = \frac{1 145 800 α - 900}{110 α - 3} W . \end{matrix}

3 / 110 \leq α \leq 1

intervallumon ennek a függvénynek az

α = 1

pontban van minimuma,

P_{v} = 10 700 W

a minimális érték (2. ábra).

2. ábra

A legkevesebb energia tehát

1

-hez igen közeli

α

és igen nagy

R

esetén

(R = \infty)

megy veszendőbe.

α \to 1

esetén az

R (1 - α)

ellenállás egy jól meghatározott értékhez,

R^{*} = 4, 28 Ω

-hoz tart. Kapcsolásunk tehát a 3. ábrán látható egyszerű soros kapcsolásnak felel meg. Itt

P_{v} = 10 700 W

, és a hatásfok

η = 300 / 11 000 = 3 / 110

3. ábra

Cserei Ferenc (Budapest, Kaffka M. Gimn., IV. o. t.)