Kezdőlap


Feladat:	1764. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bognár György , Danyi Pál , Károlyi Gyula , Megyesi Gábor , Náray Miklós , Szállási Zoltán
Füzet:	1982/november, 176 - 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lencserendszerek, Mikroszkóp, Távcsövek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: 1764. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük az 1. ábrán vázolt esetet!

1. ábra

Az 1. lencse által alkotott képet a 2. lencse újból leképezi. Az ismert lencse-törvény szerint

\begin{matrix} (1 / f) = (1 / t) + (1 / k'), \end{matrix}

(1a)

\begin{matrix} (1 / f) = (1 / t') + (1 / k), \end{matrix}

(1b)

valamint az ábráról leolvasható, hogy

\begin{matrix} k' + t' = d . \end{matrix}

(1c)

Az (1a)‐(1c) egyenletekből

k'

-t és

t'

-t kiküszöbölve kapjuk:

\begin{matrix} [k - \frac{f (d - f)}{d - 2 f}] [t - \frac{f (d - f)}{d - 2 f}] = {(\frac{f^{2}}{d - 2 f})}^{2} . \end{matrix}

(2a)

Ha az 1. ábrán vázolt helyzettel ellentétben

k' > d

, akkor

K'

(az első lencse által a tárgyról kapott kép) a 2. lencse számára virtuális tárgy. Egyszerűen végiggondolható azonban, hogy

k

és

t

között ebben az esetben is a (2a) összefüggés érvényes. Ezzel a feladat első részét megoldottuk.
Vizsgáljuk meg ezután a kétlencsés rendszerünk leképezését leíró (2a) egyenletet! Leolvasható, hogy

t = \infty

esetén

\begin{matrix} k = \frac{f (d - f)}{d - 2 f}, \end{matrix}

(3a)

k = \infty

esetén pedig

\begin{matrix} t = \frac{f (d - f)}{d - 2 f}, \end{matrix}

(3b)

vagyis az optikai tengellyel párhuzamos fénysugarak (vagy meghosszabbításaik) a rendszer (3a), (3b) által jellemzett

F

, ill.

F'

fókuszpontján haladnak át (2. ábra).

2. ábra

A (2a) képletet egyszerűbb alakra hozhatjuk, ha bevezetjük a következő jelöléseket:

\begin{matrix} τ = t - \frac{f d}{d - 2 f}, \end{matrix}

(4a)

\begin{matrix} κ = k - \frac{f d}{d - 2 f}, \end{matrix}

(4b)

\begin{matrix} φ = - \frac{f^{2}}{d - 2 f} . \end{matrix}

(4c)

Ezeket (2a)-ba helyettesítve kapjuk (Newton-formula):

\begin{matrix} (τ - φ) (κ - φ) = φ^{2}, \end{matrix}

(2b)

vagy másképpen:

\begin{matrix} (1 / τ) + (1 / κ) = (1 / φ) . \end{matrix}

(2c)

Látjuk tehát, hogy ha a tárgy- és képtávolságot (valamint a

φ

fókusz-távolságot) az optikai tengely

H (t = \frac{f d}{d - 2 f})

, ill.

H' (k = \frac{f d}{d - 2 f})

főpontjain átmenő, az optikai tengelyre merőleges

h

, ill.

h'

fősíkoktól mérjük (2. ábra), akkor optikai rendszerünk, viselkedését a vékony lencséknél megismert, (1a) alakú egyszerű (2c) egyenlet írja le. [L. Az optikai feladatok megoldásáról c. cikket, KML 64. (1982) 33. oldal.]
A fősíkok használatával a képszerkesztés is nagyon hasonló a vékony lencsénél megszokotthoz, ezt illusztrálja a három fő sugármenet felhasználásával a 2. ábra.

3. ábra

Egy vékony lencse képalkotását tekinthetjük át a 3. ábrán, amelyen a koordináta-tengelyek és a velük

45^{\circ}

-os szöget bezáró, az origón átmenő egyenesek által határolt síknyolcadokban futó görbe szakaszokhoz tartozó kép jellemzőit tüntettük fel. (Az adott lenesére vonatkozó adatokat

f_{0}

k_{0}

t_{0}

-lal jelöltük.)
Bár formailag (2c) is egy vékony lencse leképezését írja le, lényeges különbség az, hogy

κ < 0 (τ < 0)

nem feltétlenül virtuális (ernyőn fel nem fogható) képet (tárgyat) jelent, hanem csak azt, hogy a kép (tárgy) a fősík mögött van. (Egy ideális vékony lencse két fősíkja egybeesik.) Hogy egy adott

κ

(ill.

τ

) értékhez tartozó kép (ill. tárgy) látszólagos vagy sem, azt

k

(ill.

t

) előjelének a (4a), (4b) alapján történő vizsgálatával dönthetjük el.
A 4., 5., 6., 7. ábrán a

d

paraméter különböző értékei mellett ábrázoltuk kétlencsés rendszerünk esetében az összetartozó tárgy- és képtávolságokat mind a

(τ; κ)

[

(2c) egyenlet)

]

, mind pedig a

(t; k)

[

(2a) egyenlet)

]

koordináta-rendszerben.

[

A két koordináta-rendszer egymáshoz viszonyított helyzetét a (4a), (4b) egyenletek jellemzik.

]

Az ábrákról

k

és

t

előjelét leolvasva adódik, hogy a kép, ill. tárgy valódi vagy virtuális-e. A 3. ábra alapján a keletkező kép állását határozhatjuk meg.

4. ábra

5. ábra

6. ábra

7. ábra

Az ábrákra az egyes görbeszakaszok mellé odaírtuk a keletkező kép jellemzőit. Külön érdemes szólni a

d = 2 f

esetről (7. ábra). Az így felépített kétlencsés rendszer az ún. Kepler-távcső. Ennek a rendszernek a fókuszpontjai és fősíkjai a végtelenben vannak, és ‐ pl. képszerkesztéssel ‐ könnyen belátható, hogy mindig fordított állású és ‐ esetünkben ‐

1 : 1

nagyítású képet kapunk.
Végül

d = 0

esetén egy közönséges

f / 2

gyújtótávolságú vékony lencsét kapunk, amelynek képalkotása jól ismert.