Kezdőlap


Feladat:	1762. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pintér Gábor , Sczigel Gábor , Tóth Gábor
Füzet:	1982/szeptember, 42 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kepler II. törvénye, Kepler I. törvénye, Egyéb síkmozgás, A Föld keringése, A Föld forgása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: 1762. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 531. gyakorlat megoldásában leírt kétféle jelenség okozta változást kell kiszámítani. A szükséges adatok és jelölésük: a Föld-pálya numerikus excentricitása: $ε = 0, 0167$ , a Nap látszólagos nagyságának átlagos értéke $ν = 32^{'}$
a) A megvilágított terület nagyságának változása. A Föld keringési és forgási síkját az egyszerűség kedvéért először azonosnak vettük (l. a 2. ábrát az 531. gyakorlat megoldásánál). A megvilágított ívhez tartozó középponti szög nap távolban $180^{\circ} + ν_{t}$ , napközelben pedig $180^{\circ} + ν_{k}$ , ahol $ν_{t}$ és $ν_{k}$ a Nap látszólagos nagysága a két helyzetben. A Föld átmérőjét elhanyagoltuk a Nap átmérője mellett ‐ ez kb. $1 %$ -os hibát jelent.

Mivel $ν_{t}$ és $ν_{k}$ kis szögek,

\begin{matrix} \frac{ν_{t}}{ν_{k}} = \frac{1 - ε}{1 + ε} . \end{matrix}

A nappal hossza arányos a megvilágított ív hosszával, ezért napközelben

\begin{matrix} Δ_{k} = \frac{ν_{k}}{360^{\circ}} \cdot 24 órával, \end{matrix}

naptávolban

\begin{matrix} Δ_{t} = \frac{ν_{t}}{360^{\circ}} \cdot 24 órával, \end{matrix}

tér el a fél naptól. Fél év alatt az eltérés:

\begin{matrix} Δ = \frac{24 h}{360^{\circ}} (ν_{k} - ν_{t}) = 4 perc/fok \cdot ν_{t} (\frac{1 + ε}{1 - ε} - 1) \approx 4 perc/fok \cdot ν \cdot 2 ε = 4 másodperc. \end{matrix}

Mindez akkor lenne igaz, ha a Földről nézve a Nap látszólagos pályasíkja a horizonttal mindig

90^{\circ}

-ot zárna be. Ha ez a szög

β

(lásd ábra), akkor az eredményünk kis módosításra szorul.

Vegyük észre, hogy a

Δ

eltérés azonos a Nap felkelésének idejével, ami a számítottnál

\frac{1}{sin β \cdot cos 23^{\circ}}

-szor nagyobb azért, mert egyrészt a Nap ferde szögben hagyja el a horizontot, másrészt pedig januárban, illetve júliusban az éggömbön nem főkört fut be.

\begin{matrix} Δ = \frac{4 (perc/fok) \cdot ν \cdot 2 ε}{sin β \cdot cos 23^{\circ}} . \end{matrix}

Magyarországon

β = 43^{\circ}

, és így

Δ = Δ_{k} - Δ_{t} \approx 6

másodperc lesz.
b) A Nap körüli keringés pillanatnyi

ω

szögsebessége Kepler II. törvénye szerint függ a Naptól mért

r

távolságtól:

\begin{matrix} r^{2} ω = constans. \end{matrix}

A legnagyobb és legkisebb távolság közti arány

\begin{matrix} \frac{r_{k}}{r_{t}} = \frac{1 - ε}{1 + ε} \approx 1 - 2 ε . \end{matrix}

A pillanatnyi szögsebességek közti arány tehát

\begin{matrix} \frac{ω_{k}}{ω_{t}} = (\frac{1}{1 - 2 ε}) \approx 1 + 4 ε . \end{matrix}

Egy nap alatt a Nap-Föld irány elfordulása átlagosan

360^{\circ} / 365 \approx 1^{\circ}

. Ez

24 óra \cdot 1^{\circ} / 380^{\circ} = 4

perccel növeli meg a nap hosszát a

23

óra

56

perces tengely körüli forgásidőhöz képest. Az elfordulás átlagosan

1^{\circ}

-os szögében és így a 4 percnyi eltérésben a Naphoz való közeledés‐távolodás

4 ε = 6, 7 %

ingadozást okoz. Tehát a fentiek január

3

-án

4 perc \cdot 0, 067 = 16 %

másodperccel meghosszabbítják a napi napot július

3

-ához viszonyítva.

Sczigel Gábor (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t)

Megjegyzés. 1. Elvégezhetjük a számítást úgy is, hogy napkeltének a Nap horizonton való áthaladását vesszük. A gondolatmenet lényegében ugyanaz, de a Föld-Nap átmérőarány miatt a kapott időeltérések kb.

0, 01

-szer kisebbek lesznek.

Tóth Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)