Feladat:	1759. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Mihály
Füzet:	1982/november, 172 - 173. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: 1759. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A tartófonál elégetésének pillanatában a bal oldali kötélben $F_1$, a jobb oldaliban $F_2$ nagyságú erő ébred. A $m$ tömegű test vízszintes irányban kezd $a$ gyorsulással mozogni, míg a $M$ tömegű test $A$ pillanatnyi gyorsulása merőleges lesz a bal oldali kötél irányára; ugyanis $A$-nak nem lehet kötélirányú komponense, mert a kötél feszes marad, de nem nyúlik meg. Mindkét testre külön-külön felírhatók a mozgásegyenletek: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle MA}& {\displaystyle =Mg\text{cos}\alpha -F_2\text{sin}2\alpha \mathrm{,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =Mg\text{sin}\alpha +F_2\text{cos}2\alpha -F_1\mathrm{,}}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle ma}& {\displaystyle =F_2\text{cos}\alpha -F_s\mathrm{,}}\hfill & \text{(3)}\\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =F_2\text{sin}\alpha +mg-N\mathrm{.}}\hfill & \text{(4)}\end{array}}$ Az $F_s$ súrlódási erő az $N$ nyomóerőnek legfeljebb $\mu$-szöröse lehet: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_s\leqq \mu N\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Ha $\mu$ elég nagy (nagyobb, mint ${\mu }_0$), akkor az $m$ tömegű test tapadni fog az asztalhoz $\left(a=A=0\right)$. A ${\mu }_0$ határ-súrlódási együtthatót a fenti egyenletekből számíthatjuk ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\mu }_0=\frac{\text{ctg}\alpha }{1+\left(2m/M\right)}=1\mathrm{,}44.}\end{array}$ Esetünkben $\mu <{\mu }_0$, ezért ha a fonalat elégetjük, az $m$ tömegű test csúszni fog az asztalon. Emiatt az (5) összefüggésben az egyenlőségjel érvényes. A testek gyorsulása között a kényszerfeltételek miatt egyszerű összefüggés áll fenn. A jobb oldali kötelet az $M$ tömegű test $A\cdot \text{sin}2\alpha$-val arányos távolsággal nyújtaná meg a kezdeti időpillanatban, míg az $m$ tömegű test $a\cdot \text{cos}\alpha$-val arányos hosszal rövidítené. Mivel a kötél itt is feszes marad, de nem nyúlik meg, ezért a két szakasz hossza megegyezik: $A\cdot \text{sin}2\alpha =a\cdot \text{cos}\alpha$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle a=2A\cdot \text{sin}\alpha }\end{array}$ (6) A fenti 6 egyenletből álló egyenletrendszer egyértelműen meghatározza a $F_1$, $F_2$, $F_s$, és $N$ erőket, valamint az $a$ és $A$ gyorsulásokat. Hosszadalmas, de elemi számítások után $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\frac{M\left(\text{cos}{}^2\alpha -\mu \text{sin}\alpha \text{cos}\alpha \right)-\mu m\cdot \text{sin}2\alpha }{M\left(\text{cos}\alpha -\mu \text{sin}\alpha \right)+2m\text{sin}\alpha \cdot \text{sin}2\alpha }g}\end{array}$ adódik. Ebből $a$ a (6) egyenlet alapján számítható ki. A feladat számadataival a két gyorsulás megegyezik, nagyságuk $a=A=7\mathrm{,}59{\text{ m/s}}^2$.    Tóth Mihály (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., II. o. t.)  dolgozata alapján