|
Feladat: |
1755. fizika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Fodor Zoltán , Gyuricza Béla , Peták Tamás , Szövényi-Lux Márton , Szövényi-Lux Mátyás |
Füzet: |
1982/október,
92 - 93. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Pontrendszerek mozgásegyenletei, Nyomóerő, kötélerő, Kúpinga, Egyéb matematikai inga, Centrifugális erő, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1982/január: 1755. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megfelelően nagy szögsebességgel forgatva a rendszert, a pálcák a függőlegestől és szögekkel fognak kitérni. Írjuk fel ebben a helyzetben a golyók mozgásegyenletét (1. ábra)! Az tömegpontra az egyenletek:
1. ábra | | (2) | a golyóra pedig | | (4) |
A pálcákban ébredő és erőket kiküszöbölve az egyeletekből, valamint az új változót bevezetve az alábbi egyenletrendszert kapjuk és -re: Ezekből az egyenletekből és explicit kifejezése reménytelenül bonyolult vállalkozás lenne. Bennünket azonban most csupán az érdekel, hogy mekkora (ill. ) értéktől kezdve fogunk nullától különböző szögkitérést kapni. Ebben a határhelyzetben és kicsiny értékűek, így az (5) és a (6) egyenletekben a és a közelítések alkalmazhatók. Ennek felhasználásával -ra másodfokú egyenletet nyerünk: amelynek kisebbik gyöke fogja a kritikus szögsebességértéket meghatározni: A , mindig megoldása az egyenleteknek. Belátható, hogy ha , akkor a stabil megoldás, míg ha , akkor instabil, azaz bármilyen kis eltérés ettől a helyzettől már tovább téríti ki a pálcákat egészen addig, amíg a rendszer át nem megy az (5) és (6) egyenletekkel leírt helyzetbe. A stabilitás vizsgálatára használjunk szögsebességgel forgó koordinátarendszert! Ha az tömegek kicsit mozdulnak ki a tengelytől, akkor a helyzeti energia növekedése Ezt a növekedést a centrifugális erők | | munkavégzése fedezheti (ez utóbbi a tömegek kinetikus energiája). Mindaddig, amíg különbségük () negatív, a helyzet stabilis. Kis átlakítások után adódik, ahol , . A 2. ábra néhány paraméter‐értékre feltünteti ezt a függvénykapcsolatot.
2. ábra
3. ábra esetén minden -re , azaz a helyzet stabilis. esetén csak pozitív értékeknél válhat (és így ) pozitívvá, azaz és azonos előjelűek: az egyensúlyi helyzet akkor valósulhat meg, ha a pálcák azonos irányban térnek ki (3a ábra). esetén a helyzetben bekövetkező zavar (perturbáció) mindkét stabil konfigurációt (3a és 3b ábrák) létrehozhatja. Több dolgozat alapján
|
|