Kezdőlap


Feladat:	1754. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Danyi Pál , Fodor Zoltán , Frei Zsolt , Gyuricza Béla , Makáry Péter , Megyesi Gábor , Tóth Gábor
Füzet:	1982/október, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Forgási energia, Merev test impulzusnyomatéka (perdülete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/január: 1754. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ütközés esetén az impulzus, ill. impulzusmomentum megmarad. Írjuk fel az $O$ pontra vonatkoztatott impulzusmomentum megmaradását (azért az $O$ pontra vonatkozót, mert így az egyenletből kiesik az $O$ pontban ható külső erő, l. az ábrát)

\begin{matrix} m v h = Θ ω, \end{matrix}

(1)

ahol

ω

O

körüli forgás szögsebessége és

Θ

O

-ra vonatkozó teljes tehetetlenségi nyomaték:

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{12} (a^{2} + b^{2}) M + \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2}) M + (a^{2} + h^{2}) m = \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2}) M + (a^{2} + h^{2}) m \end{matrix}

(2)

(

m

és

M

a puskagolyó, ill. a láda tömege).

Θ

kiszámításához felhasználtuk a Steiner‐tételt, és feltettük, hogy a golyó nem hatolt be mélyen a láda belsejébe.
A láda akkor dől fel, ha a forgási energiája elég nagy ahhoz, hogy a súlypont

O

fölé kerüljön. A súlypont koordinátái az ábrán jelölt koordináta‐rendszerben:

\begin{matrix} (\frac{M (a / 2) + m a}{M + m}, \frac{M (b / 2) + m h}{M + m}) . \end{matrix}

Határesetben a láda a súlypont legmagasabb helyzeténél éppen megáll. Erre az esetre az energiamegmaradás:

\begin{matrix} \frac{1}{2} Θ ω^{2} = (M + m) g [\sqrt[]{{(\frac{M \frac{a}{2} + m a}{M + m})}^{2} + {(\frac{M \frac{b}{2} + m h}{M + m})}^{2}} - \frac{M \frac{b}{2} + m h}{M + m}] . \end{matrix}

(3)

Θ

és

ω

ismeretleneket kiküszöbölve az (1), (2) és (3) egyenletből fejezzük ki

v

-t:

\begin{matrix} v = \frac{M}{m h} \sqrt[]{g [\sqrt[]{a^{2} {(1 + 2 \frac{m}{M})}^{2} + {(b + 2 h \frac{m}{M})}^{2}} - (b + 2 h \frac{m}{M})] [\frac{1}{3} (a^{2} + b^{2}) + \frac{m}{M} (a^{2} + h^{2})] .} \end{matrix}

Tehát a golyó sebességének legalább ekkorának kell lennie, hogy a láda felboruljon.
Ha a golyó tömege elhanyagolhatóan kicsi,

m ≪ M

, akkor

\begin{matrix} v = \frac{M}{m h} \sqrt[]{\frac{g}{3} (\sqrt[]{a^{2} + b^{2}} - b) (a^{2} + b^{2})} . \end{matrix}

Frei Zsolt (Pécs, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.) és
Tóth Gábor (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján