Kezdőlap


Feladat:	1751. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fáth Gábor , Fodor Gyula , Jurisits Miklós
Füzet:	1982/szeptember, 38 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Tapadó súrlódás, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/január: 1751. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először rajzoljuk fel a testekre ható erőket (l. az ábrát)!

Megállapíthatjuk, hogy

\begin{matrix} N_{1} = (m_{1} + m_{2}) g, N_{2} = m_{2} g, N_{3} = m_{3} g \end{matrix}

Vizsgáljuk meg, lehetséges-e, hogy

S_{2} > K

, ahol

K

a kötélben ébredő erő. Ez esetben az

m_{2}

tömegű test jobbra mozog, ami csak akkor lehetséges, ha az

m_{1}

tömegű test is jobbra mozog, hiszen az

m_{3}

tömegű test biztos, hogy jobbra megy, ha egyáltalán mozog.

N_{1} > N_{2}

miatt

S_{1} > S_{2}

(

S_{1}

most csúszási súrlódási erő). Tehát az

m_{1}

-re jobbra ható

2 K

erő kisebb, mint az ellenkező irányban ható

S_{1} + S_{2}

, és ez ellentmondásban van azzal, hogy az

m_{1}

tömegű test jobbra mozog. Tehát nem lehetséges az, hogy

S_{2} > K

, így amennyiben az

m_{2}

tömegű test elmozdul, akkor balra mozdul el. Az

m_{1}

tömegű test balra nem mozdulhat el, mert ekkor csak az

S_{2}

erő hat rá balra, és a rá ható jobbra mutató erők az előbbiek miatt ennél nagyobbak.
A fentiek figyelembevételével a testek mozgására a következő lehetőségek vannak:
a) Egyik test sem mozog.
b) Az

m_{3}

tömegű test lejtőirányban, az

m_{2}

tömegű test balra mozog a gyorsulással, míg az

m_{1}

tömegű test nyugalomban van.
c) Mindhárom test mozog: az

m_{3}

tömegű

a_{3}

gyorsulással lejtőirányban, az

m_{1}

tömegű

a_{1}

gyorsulással jobbra, és az

m_{2}

tömegű

a_{2}

gyorsulással balra.

Az a) eset megvalósulásának feltétele:

\begin{matrix} K = S_{2} és m_{3} g sin α = K + S_{3} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

S_{2} ≦ μ m_{2} g

és

S_{3} ≦ μ m_{3} g cos α

, ekkor a következő egyenlőtlenségnek kell teljesülnie:

\begin{matrix} m_{3} (sin α - μ cos α) - μ m_{2} ≦ 0. \end{matrix}

(1)

A b) eset vizsgálatához írjuk fel a testek mozgásegyenletét: az

m_{1}

tömegű test mozgásegyenlete:

\begin{matrix} 2 K - S_{1} - S_{2} = 0, \end{matrix}

(2)

m_{2}

tömegű test mozgásegyenlete:

\begin{matrix} K - S_{2} = m_{2} a, \end{matrix}

(3)

m_{3}

tömegű test mozgásegyenlete:

\begin{matrix} m_{3} g sin α - K - S_{3} = m_{3} a . \end{matrix}

(4)

Továbbá tudjuk, hogy

\begin{matrix} S_{1} \leq μ g (m_{1} + m_{2}), S_{2} = μ m_{2} g, S_{3} = μ m_{3} g cos α . \end{matrix}

(5)

(3), (4), (5) felhasználásával megkapjuk a keresett gyorsulást és a kötélerőt:

\begin{matrix} a = g \frac{m_{3} (sin α - μ cos α) - μ m_{2}}{m_{2} + m_{3}}, \\ K = g \frac{m_{2} m_{3}}{m_{2} + m_{3}} (μ + sin α - μ cos α) . \end{matrix}

Vegyük figyelembe, hogy (4) alapján

\begin{matrix} m_{3} g sin α > K + S_{3}, \end{matrix}

így (2) és (5) felhasználásával kapjuk, hogy a b) esetben az alábbi egyenlőtlenségeknek kell teljesülniük:

\begin{matrix} \frac{μ m_{1} (m_{2} + m_{3})}{2 m_{2}} \geq m_{3} (sin α - μ cos α) - μ m_{2} > 0. \end{matrix}

(6)

A c) esetben hasonlóképpen járunk el. A mozgásegyenletek:

\begin{matrix} 2 K - S_{1} - S_{2} = m_{1} a_{1}, & (7) \\ K - S_{2} = m_{2} a_{2}, & (8) \\ m_{3} g sin α - K - S_{3} = m_{3} a_{3}, & (9) \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} S_{1} = μ g (m_{1} + m_{2}), S_{2} = μ m_{2} g, S_{3} = μ m_{3} g cos α . \end{matrix}

(10)

A kötél nyújthatatlansága miatt a gyorsulások között érvényes a következő kényszerfeltétel:

\begin{matrix} a_{2} = a_{3} - 2 a_{1} . \end{matrix}

(11)

Az egyenletrendszert megoldva a következőket kapjuk:

\begin{matrix} K = g \frac{4 μ m_{2}^{2} m_{3} + m_{1} m_{2} m_{3} (sin α - μ cos α + 3 μ)}{m_{1} m_{2} + 4 m_{2} m_{3} + m_{1} m_{3}}, & (12) \\ a_{1} = g \frac{2 m_{2} m_{3} (sin α - μ cos α) - 2 μ m_{2}^{2} - μ m_{1} (m_{2} + m_{3})}{m_{1} m_{2} + 4 m_{2} m_{3} + m_{1} m_{3}}, & (13) \\ a_{2} = g \frac{m_{1} m_{3} (sin α - μ cos α) + 4 m_{2} m_{3} (sin α - μ cos α) + m_{2} μ (3 m_{1} - 4 m_{2})}{m_{1} m_{2} + 4 m_{2} m_{3} + m_{1} m_{3}} . & (14) \end{matrix}

a_{2}

-t a (11) összefüggés segítségével határozhatjuk meg.
A mozgás létrejöttének egyik szükséges feltételére adódik

2 K > S_{1} + S_{2},

azaz

a_{1} > 0

, valamint (13) figyelembevételével:

\begin{matrix} \frac{μ m_{1} (m_{2} + m_{3})}{2 m_{2}} < m_{3} (sin α - μ cos α) - μ m_{2} . \end{matrix}

(15)

Ha érvényes (15), akkor nyilván az

\begin{matrix} m_{3} (sin α - μ cos α) - μ m_{2} > 0 \end{matrix}

feltétel is teljesül.
Mivel az a), b) és c) eset megvalósulásához szükséges (1), (6), valamint (15) feltételek egymást kizárják, és más eset logikailag nem lehetséges, így (1) teljesülésekor szükségképpen az a) eset, (6) teljesülésekor a b) eset, végül (15) teljesülésekor a c) eset valósul meg.

Jurisits Miklós (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., II. o. t.)
Fáth Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) és
Fodor Gyula (Budapest, Móricz Zs. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján