Kezdőlap


Feladat:	1747. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Molnár Zoltán , Nagy Róbert , Szekanecz Zoltán
Füzet:	1982/május, 235 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyűjtőlencse, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/december: 1747. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel a leképezésnél valódi fordított állású kép keletkezett, a lencse csak gyűjtőlencse lehet.

A

pontból

A'

-be, illetve a

B

pontból

B'

-be törés nélkül haladó fénysugarak a lencse középpontján haladnak át (1. ábra), metszéspontjukat jelöljük

O

-val, ami a lencse tengelyének és az optikai tengelynek egyaránt pontja.

1. ábra

Most lássuk be, hogy az

A B

pontokat összekötő egyenes és az

A' B'

pontokat összekötő egyenes a lencse tengelyén metszi egymást. Vizsgáljuk a

B A

irányú fénysugár útját ! Mivel ez átmegy az

A

és

B

ponton, azért a lencsén megtörve

A'

-n és

B'

-n is át kell haladnia. Így az

A

B

pontokat összekötő egyenes és az

A'

B'

pontokat összekötő egyenes valóban a lencse tengelyén metszi egymást. Jelöljük a metszéspontot

P

-vel. Tehát

O P

egyenese a lencse tengelye. Az optikai tengelyt most már megkapjuk, ha erre a tengelyre merőlegest állítunk az

O

pontban. Ha ezután a

B

pontból induló, optikai tengellyel párhuzamos fénysugár útját vizsgáljuk, annak át kell mennie a

B'

ponton, valamint a fókuszponton. Ha tehát a

B

pontból a

P O

egyenesre bocsátott merőleges

T

talppontját összekötjük

B'

-vel, akkor az összekötő egyenes és az optikai tengely metszéspontja adja a lencse egyik fókuszpontját,

F_{1}

-et. A másik fókuszpont ennek

O

-ra való tükrözésével adódik.

Szekanecz Zoltán (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Geometriai meggondolásokkal is igazolhatjuk, hogy az

A B

és az

A' B'

egyenes a lencse tengelyén metszi egymást. Tegyük fel ugyanis, hogy a lencse tengelyét az

A B

egyenes a

P

pontban, az

A' B'

egyenes pedig a

P'

pontban metszi. Tekintsük a 2. ábrát !

2. ábra

Vizsgáljuk az

A B

tárgy helyett az

A A_{1}

B B_{1}

tárgyakat, jelölje ezek nagyságát

T_{1}

, illetve

T_{2}

, képeik nagyságát

K_{1}

K_{2}

. A megfelelő tárgy-, illetve képtávolságok legyenek

t_{1}

t_{2}

k_{1}

k_{2}

, a lencse fókusztávolsága

f

. Legyen az

A B

egyenesnek az optikai tengellyel alkotott metszéspontja

C

, az

A' B'

egyenesnek az optikai tengellyel alkotott metszéspontja pedig

C'

. A 2. ábráról könnyen látható, hogy a

C A_{1} A

C B_{1} B

C O P

háromszögek hasonlóak, így megfelelő oldalaik aránya egyenlő, azaz

\begin{matrix} (\bar{C A_{1}}) / (\bar{A_{1} A}) = (\bar{C B_{1}}) / (\bar{B_{1} B}) = (\bar{C O}) / (\bar{O P}) . \end{matrix}

Beírva a tárgytávolságokat és tárgynagyságokat, kapjuk:

\begin{matrix} \frac{t_{2} - t_{1} - {\bar{C A}}_{1}}{T_{2}} = \frac{{\bar{C A}}_{1}}{T_{1}}, és \frac{{\bar{C A}}_{1}}{T_{1}} = \frac{{\bar{C A}}_{1} + t_{1}}{\bar{O P}} . \end{matrix}

Innen

\bar{O P}

-t kifejezve:

\begin{matrix} \bar{O P} = \frac{T_{2} t_{1} + T_{1} t_{2}}{t_{2} - t_{1}} . \end{matrix}

(1)

Ugyanilyen meggondolás alapján a

C' A'_{1} A'

C' B'_{1} B'

C' O P'

háromszögek hasonlóak, így

\begin{matrix} \frac{\bar{C' A'_{1}}}{\bar{A'_{1} A'}} = \frac{\bar{C' B'_{1}}}{\bar{B'_{1} B'}} = \frac{\bar{C' O}}{\bar{O P'}} . \end{matrix}

Itt a képtávolságokat, ill. képnagyságokat írjuk be, amivel

\begin{matrix} \frac{k_{1} - k_{2} - \bar{C' B'_{1}}}{K_{1}} = \frac{\bar{C' B'_{1}}}{K_{2}} és \frac{\bar{C' B'_{1}}}{K_{2}} = \frac{\bar{C' B'_{1}} + k_{2}}{\bar{O P'}} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} \bar{O P'} = \frac{K_{1} k_{2} + K_{2} k_{1}}{k_{1} - k_{2}} . \end{matrix}

(2)

Tudjuk, hogy

K_{i} / T_{i} = k_{i} / t_{i}

, illetve

(1 / f) = (1 / k_{i}) + (1 / t_{i}) i = 1, 2

-re. Ebből átrendezéssel adódik, hogy

\begin{matrix} k_{i} = \frac{f t_{i}}{t_{i} - f}, illetve K_{i} = \frac{T_{i} f}{t_{i} - f} . \end{matrix}

Ezt (2)-be helyettesítve:

\begin{matrix} \bar{O P'} = \frac{\frac{T_{2} t_{1} f^{2} + T_{1} t_{2} f^{2}}{(t_{1} - f) (t_{2} - f)}}{- \frac{t_{2} f}{t_{2} - f} + \frac{t_{1} f}{t_{1} - f}} = \frac{T_{1} t_{2} + T_{2} t_{1}}{t_{2} - t_{1}} \end{matrix}

adódik, amely megegyezik az (1) kifejezéssel. Tehát

\bar{O P} = \bar{O P'}

, azaz

P = P'

, vagyis az

A

B

pontokat és az

A'

B'

pontokat összekötő egyenes valóban a lencse tengelyén metszi egymást.

Nagy Róbert (Győr, Révai M. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Szerkesszük meg először az I. megoldásban elmondottak alapján a lencse tengelyének és az optikai tengelynek a metszéspontját,

O

-t.

3. ábra

Tudjuk, hogy a gyűjtőlencse a végtelen távoli pontból párhuzamosan érkező fénysugarakat a fókuszpont síkjában gyűjti össze, valamint az

A B

fénysugár a lencsén áthaladva az

A' B'

irányban folytatja útját. Válasszuk most az

A B

egyenessel párhuzamos,

O

-n átmenő fénysugarat. Mivel ez a lencse középpontján halad át, egyenesen folytatja útját. Az előzőek szerint ennek a fénysugárnak az

A' B'

egyenessel alkotott metszéspontja a fókuszpont síkjába esik. Legyen ez a pont

Q_{1}

. Ha most ugyanezt megnézzük az

A' B'

irányú és a vele párhuzamos,

O

-n átmenő fénysugárra, az utóbbi fénysugár és az

A B

egyenes metszéspontja,

Q_{2}

a másik fókusztpont síkjába kell, hogy essék (3. ábra). A két fókuszsík a lencse tengelyétől egyenlő távolságra, a lencse tengelyével párhuzamosan helyezkedik el, így

\bar{Q_{1} Q_{2}}

felezőpontja,

F

, rajta kell, hogy legyen a lencse tengelyén.

F

-et

O

-val összekötve megkapjuk a lencse tengelyét, majd ebből az optikai tengelyt. Az optikai tengelyre

Q_{1}

- től, ill.

Q_{2}

-től bocsátott merőlegesek talppontjai pedig meghatározzák a lencse fókuszpontjait,

F_{1}

-et és

F_{2}

-t.

Molnár Zoltán (Nagykőrös, Arany J. Gimn., IV. o. t.)