Feladat:	1742. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tóth Mihály
Füzet:	1982/május, 229 - 232. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/december: 1742. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az $l$ szélességű láda eltolásához szükséges $F$ tolóerőnek a vízszintessel bezárt $\alpha$ szögét, valamint támadáspontjának a talajtól mért $h$ távolságát úgy kell megválasztanunk, hogy egyidejűleg a következő feltételek teljesüljenek: ‐ a láda csúszik a talajon, ‐ a ládát toló ember nem csúszik meg, ‐ a láda nem billen fel, ‐ a ládát az ember nem emeli fel. (Feltételezzük, hogy a ládát toló ember nem billen fel.) Ezek a feltételek a keresett $F$, $\alpha$, $h$ paraméterekre rendre a következő megszorításokat adják (l. az ábrát): ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle S_1=\mu \left(Mg-F\text{sin}\alpha \right)\le F\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle F\text{cos}\alpha \le \mu \left(mg+F\text{sin}\alpha \right)=S_2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle Fh\text{cos}\alpha +Fl\text{sin}\alpha \le Mgl/\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle F\text{sin}\alpha \le Mg;}\hfill \end{array}}$ vagy kissé átrendezve ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle F\left(\text{cos}\alpha +\mu \text{sin}\alpha \right)}& {\displaystyle \ge \mu Mg\mathrm{,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle F\left(\text{cos}\alpha +\mu \text{sin}\alpha \right)}& {\displaystyle \le \mu mg\mathrm{,}}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle F\left[\left(h/l\right)\text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right]}& {\displaystyle \le \mu Mg/\mathrm{2,}}\hfill & \text{(3)}\\ \hfill {\displaystyle F\text{sin}\alpha }& {\displaystyle \le Mg\mathrm{.}}\hfill & \text{(4)}\end{array}}$ Itt $S_1$, ill. $S_2$ a láda és a talaj, ill. az ember és a talaj közötti súrlódási erőt, $F$ a tolóerő abszolút értékét jelöli, a felbillenés elleni stabilitás (3) feltételében a forgatónyomatékokat a $P$ pontra írtuk fel. Feladatunk az, hogy az $F\mathrm{,}\alpha \mathrm{,}h$ paraméterek olyan tartományait találjuk meg, amelyekre az (1)‐(4) egyenlőtlenségek egyidejűleg teljesülnek. (L. az 1663. feladatot, KML 62. 1981, 131. oldal.) Először is vegyük észre, hogy (4)-nél (3) szigorúbb feltétel, így (4)-et egyszerűen elhagyhatjuk. Továbbá $F>0$ miatt (1) bal oldalának pozitívnak kell lennie, ezért teljesülnie kell a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha >-1/\mu }\end{array}$ (5) feltételnek. A (2) és (3) bal oldalán a zárójelben levő kifejezés előjele tetszőleges lehet, ami négy különböző esetet jelent. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \text{cos}\alpha }& {\displaystyle -\mu \text{sin}\alpha \ge 0\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn><mi>a</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle \text{cos}\alpha }& {\displaystyle -\mu \text{sin}\alpha <\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn><mi>b</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle \left(h/l\right)\text{cos}\alpha }& {\displaystyle +\text{sin}\alpha \ge 0\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn><mi>a</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle \left(h/l\right)\text{cos}\alpha }& {\displaystyle +\text{sin}\alpha <0.}\hfill & \text{(<mn>3</mn><mi>b</mi>)}\end{array}}$ Ezek közül a (2b) és (3b) egyidejűleg nem állhat fenn, hiszen (2b) a $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha >$ $>1/\mu >0$ feltételt, míg (3b) a $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha <\left(-h/l\right)<0$ feltételt jelenti. A többi egyenlőtlenség egyidejűleg is teljesülhet, ezért meg kell vizsgálnunk az egyes eseteket az eredeti (1)‐(3) feltételekbe visszahelyettesítve.   I. Tegyük fel, hogy (2b) teljesül, vagyis $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha >1/\mu$. Ekkor az előzőek alapján csak a (3a), azaz a $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \ge \left(-h/l\right)$ feltétel lehetséges. Feltevésünk értelmében a (2) feltétel minden $F>0$ értékre teljesül, (1) és (3) pedig csak akkor fér össze, ha lehetséges $\alpha$ és $h$ olyan megválasztása, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{Mg}{2\left[\left(h/l\right)\text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right]}\ge \frac{\mu Mg}{\text{cos}\alpha +\mu \text{sin}\alpha \mathrm{.}}}\end{array}$ Ezt rendezve kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha \le \left(1/\mu \right)-\left(2h/l\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (6) ami azonban lehetetlen, hiszen (2b) értelmében $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha >1/\mu$.   II. Tekintsük most azt az esetet, amikor (2a) és (3b) teljesül, azaz az ezekkel egyenértékű $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \le 1/\mu$, ill. $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(-\frac{1}{\mu }\right)<\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha <-\frac{h}{l}<0}\end{array}$ (7) feltételt. Ekkor (3) minden $F>0$-ra teljesül, (1) és (2) viszont csak akkor fér össze, ha lehetséges $\alpha$ értékének olyan megválasztása, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\mu Mg}{\text{cos}\alpha +\mu \text{sin}\alpha }\le \frac{\mu mg}{\text{cos}\alpha -\mu \text{sin}\alpha }\mathrm{,}}\end{array}$ Ezt rendezve a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \ge -\frac{1}{\mu }\cdot \frac{m-M}{m+M}}\end{array}$ (8) egyenlőtlenség adódik. Mivel $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha <0$, (8) csak akkor teljesül, ha $m>M$. Ugyanakkor $m>M$ esetén (8) az (5) feltételnél szigorúbb. Összehasonlítva (8)-at (7)-tel, kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{h}{l}>\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \ge -\frac{1}{\mu }\cdot \frac{m-M}{m+M}\left(m>M\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (7a) Ha az $F$ erő támadáspontját úgy választjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<h\le \frac{1}{\mu }\frac{m-M}{m+M}l\mathrm{,}}\end{array}$ (9) biztosan létezik a (7a) feltételnek eleget tevő $\alpha$ érték. Ilyenkor a tolóerő olyan értékű lehet, amelyre teljesül $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\mu Mg}{\text{cos}\alpha +\mu \text{sin}\alpha }\le F\le \frac{\mu mg}{\text{cos}\alpha -\mu \text{sin}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (10) A fentiekből világos, hogy az előbbi feltételeknek eleget tevő $F\mathrm{,}\alpha \mathrm{,}h$ esetén az. (1)‐(3) feltételek valóban teljesülnek. Ezt az esetet illusztráljuk egy számpéldával ! Legyen $m=60$ kg, $M=30$ kg, $\mu =0\mathrm{,}5$, $l=1\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}$. (9) alapján ekkor $0<$ $<h\le \left(2/3\right)\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}$. Válasszuk pl. a $h=0\mathrm{,}5\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}$-t, ekkor (8)-ból $\left(-1/2\right)\ge \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \ge$ $\ge \left(-2/3\right);\left(-26\mathrm{,}{6}^{\circ }\right)>\alpha \ge \left(-33\mathrm{,}{7}^{\circ }\right)$. Legyen pl. $\alpha =-{30}^{\circ }$, ekkor (10) alapján $F$ nagyságát úgy kell megválasztanunk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 243\mathrm{,}5\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">N</span>}\le F\le 268\mathrm{,}8\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">N</span>}\mathrm{.}}\end{array}$ III. Vizsgáljuk végül azt az esetet, amikor (2a) és (3a) teljesül, azaz, ha $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \le 1/\mu$ és $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \ge \underset{}{\overset{}{\text{max}}}\left\{\left(-h/l\right)\mathrm{,}\left(-1/\mu \right)\right\}$ egyidejűleg teljesül. (1) és (2), ill. (1) és (3) összeférhetőségének feltétele a korábban már megkapott (8) és (6) egyenlőtlenség, ezeket összevontan így írhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\mu }\cdot \frac{M-m}{M+m}\le \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \le \frac{1}{\mu }-\frac{2h}{l}\mathrm{.}}\end{array}$ (11) A fenti feltételt kielégítő $\alpha$ választás akkor lehetséges, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\mu }\frac{M-m}{M+m}\le \frac{1}{\mu }-\frac{2h}{l}\mathrm{.}}\end{array}$ (12) A (11)-nek eleget tevő $\alpha$ értékek esetén $F$ olyan lehet, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\mu Mg}{\text{cos}\alpha +\mu \text{sin}\alpha }\le F\le \underset{}{\overset{}{\text{min}}}\left\{\frac{\mu mg}{\text{cos}\alpha -\mu \text{sin}\alpha }\mathrm{,}\frac{Mg}{2\left[\left(h/l\right)\text{cos}\alpha +\mu \text{sin}\alpha \right]}\right\}\mathrm{.}}\end{array}$ (13) Az előbbieknek eleget tevő $F\mathrm{,}\alpha \mathrm{,}h$ esetén mindig teljesülnek az (1)‐(3) feltételek. Végezetül lássunk itt is egy számpéldát: $m=60\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}$, $M=120\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}$, $l=1\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}$, $\mu =0\mathrm{,}5$ esetén (12)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle h\le \frac{1}{\mu }\frac{m}{M+m}=\frac{2}{3}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}\mathrm{.}}\end{array}$ Válasszuk pl. a $h=0\mathrm{,}5$ m-t, ekkor (11)-ből $\left(2/3\right)\le \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \le 1$, vagyis $33\mathrm{,}{7}^{\circ }\le$ $\le \alpha \le {45}^{\circ }$. Legyen pl. $\alpha ={40}^{\circ }$, ekkor (13) alapján $F$ úgy választandó, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 551\mathrm{,}8\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">N</span>}\le F\le 674\mathrm{,}7\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">N</span>}}\end{array}$ teljesüljön.    Tóth Mihály (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., II. o. t.)  dolgozata alapján