Kezdőlap


Feladat:	1740. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boszágh Péter , Kovács Attila
Füzet:	1982/április, 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/november: 1740. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Világos, hogy a töltések kezdeti $d$ távolsága a továbbiakban csak akkor fog csökkenni, ha a két töltés kezdetben vagy egymás felé halad, vagy pedig egyirányban mozog úgy, hogy a "hátul'' levő sebessége a nagyobb. Minden más esetben a keresett minimális távolság $x_{min} = d$ .
Vizsgáljuk ezek után az előző két esetet együtt. A töltésekre ható erők belső erők, ezért a rendszer összimpulzusa állandó:

\begin{matrix} m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}, \end{matrix}

(1)

ahol

v_{1}

, és

v_{2}

a kezdeti sebességek,

u_{1}

és

u_{2}

pedig a két töltés sebessége egy későbbi, tetszőleges időpontban.
A töltések között működő Coulomb-erő konzervatív, így teljesül a mechanikai energia megmaradásának tétele is:

\begin{matrix} (1 / 2) m_{1} v_{1}^{2} + (1 / 2) m_{2} v_{2}^{2} + k q^{2} / d = (1 / 2) m_{1} u_{1}^{2} + (1 / 2) m_{2} u_{2}^{2} + k q^{2} / x, \end{matrix}

(2)

ahol

x

a töltések közötti távolság abban a pillanatban, amikor azok sebessége

u_{1}

, ill.

u_{2}

.
A töltések távolsága akkor és csak akkor minimális, ha sebességük egyenlő

u_{1} = u_{2} = u

, ellenkező esetben ui.

w=u_{2}-u_{1}\neq0

relatív sebességgel közelednének, vagy távolodnának egymástól. Ezt felhasználva (1) és (2) segítségével kapjuk, hogy

\begin{matrix} x_{min} = \frac{d}{d \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{2 (m_{1} + m_{2}) k q^{2}} {(v_{1} - v_{2})}^{2} + 1} . \end{matrix}

Eredményük mutatja, hogy

x_{min} < d

, és

x_{min}

a töltések egymáshoz képesti sebességétől függ.

Boszágh Péter (Szolnok, Verseghy F. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Számolásunk során a töltések között ható gravitációs erőt elhanyagoltuk, vagyis feltételezhetők, hogy

\begin{matrix} k \cdot \frac{q^{2}}{r^{2}} ≫ f \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \end{matrix}

(

k

a Coulomb,

f

a Newton-féle gravitációs állandó). A fenti egyenlőtlenség mindaddig teljesül, amíg

(m / q) ≪ \sqrt[]{k / f}

. Behelyettesítve

k

és

f

értékét, közelítőleg az

(m / q) ≪ 10^{10} kg/C

adódik, vagyis a közelítésünk minden gyakorlati esetben megengedhető.
2. Megoldásunkban feltételeztük, hogy a töltések tere Coulomb-tér, ami mozgó töltések esetében csak közelítőleg igaz. Az eltérés azonban mindaddig kicsi, amig a töltések sebessége a fény sebességénél jóval kisebb.

Kovács Attila (Kalocsa, I. István Gimn., IV. o. t.)