Feladat:	1737. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frei Zsolt
Füzet:	1982/április, 180 - 181. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkinga, Energia homogén gravitációs mezőben, Munkatétel, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/november: 1737. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az inga akkor tud körbefordulni, ha még a körpálya legfelső pontján is feszül a kötél, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle F_k=\left(m{v}^2/r\right)-mg\geqq \mathrm{0,}}\end{array}$ (1) ahol $F_k$, a kötelet feszítő erő. Az (1) egyenlet feltételt ad a sebességre is $\begin{array}{c}{\displaystyle v\geqq \sqrt[]{rg}\mathrm{,}}\end{array}$ (2) azaz (2)-nek kell teljesülnie, hogy az $r$ sugarú, függőleges síkú körpályán végigmenjen a test. Legyen $\alpha$ az inga és a függőleges által bezárt szög akkor, amikor az inga eléri a $P$ pontban levő szöget, $r$ az inga hossza, $l$ pedig a szög távolsága az inga felfüggesztési pontjától (1. ábra).   1. ábra Az energiamegmaradás törvényének segítségével kiszámíthatjuk az inga sebességét, akkor, amikor az a szöget megkerülve pályája legfelső pontjába ér: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[l\text{cos}\alpha -\left(r-l\right)\right]mg=m{v}^2/2.}\end{array}$ Hogy az inga tömege körpályán maradjon, teljesülnie kell a (2) feltételnek (a körpálya sugara $r-l$), azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\left[l\text{cos}\alpha -\left(r-l\right)\right]g\geqq \left(r-l\right)g\mathrm{,}}\end{array}$ amit $l$-re megoldva kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle l\geqq \frac{r}{1+\left(2/3\right)\text{cos}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (3) A (3) egyenlőtlenség $l$-re $\alpha$ függvényében egy alsó korlátot ad. Van $l$-re egy felső korlátunk is, hiszen $\begin{array}{c}{\displaystyle l\leqq r}\end{array}$ (4) lehet csak. A (3) és (4) egyenlőtlenség által meghatározott tartományon belül (2. ábra) bárhol lehet a szög.   2. ábra A tartományt alulról az $r$ sugarú félkör, míg felülről az $\begin{array}{c}{\displaystyle l=\frac{r}{1+\left(2/3\right)\text{cos}\alpha }}\end{array}$ (3a) egyenletű görbe határolja. A (3a) egyenletben nem mindenki ismeri fel azonnal az ellipszis egyenletét. Ezért az 1. ábrán megadott derékszögű koordináta-rendszerben is felírjuk a (3a) egyenletet. Ehhez $l$ és $\alpha$ helyett bevezetjük az $x$ és $y$ változókat, felhasználva, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle l=\sqrt[]{x^2+y^2}\mathrm{,}\text{cos}\alpha =\frac{x}{\sqrt[]{x^2+y^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Ezeket az összefüggéseket (3a)-ba helyettesítve és rendezve, kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 9y^2+5x^2+12rx-9r^2=\mathrm{0,}}\end{array}$ amit már könnyen átalakíthatunk az ellipszis normál egyenletének alakjára: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{y^2}{{\left[\left(3/\sqrt[]{5}\right)r\right]}^2}+\frac{{\left[x+\left(6/5\right)r\right]}^2}{{\left(9r/5\right)}^2}=1.}\end{array}$    Frei Zsolt (Pécs, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)