Kezdőlap


Feladat:	1736. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kéki Sándor
Füzet:	1982/április, 179 - 180. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb gördülés (Gördülés), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/november: 1736. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hengerekre külön-külön felírjuk a súlypontra és a forgómozgásra vonatkozó mozgásegyenleteket. A gyorsulások között az elrendezésnek megfelelő geometriai feltételeket írjuk fel.

A középső henger

β

szöggyorsulással forog, tehetetlenségi nyomatéka a rögzített tengelyre vonatkoztatva

(1 / 2) M R^{2}

, a mozgásegyenlete

\begin{matrix} 2 K_{1} R - 2 K_{2} R = (1 / 2) M R^{2} β . \end{matrix}

(1)

A forgatónyomaték felírásánál figyelembe vettük azt, hogy a fonalak kétszeresen vannak a hengereken átvetve. A legördülő hengerek forgómozgásának egyenlete

\begin{matrix} 2 K_{1} r_{1} = \frac{m_{1} r_{1}^{2}}{2} β_{1}, \end{matrix}

(2)

ill.

\begin{matrix} 2 K_{2} r_{2} = \frac{m_{2} r_{2}^{2}}{2} β_{2}, \end{matrix}

(3)

a súlypontok mozgására pedig az

\begin{matrix} m_{1} g - 2 K_{1} = m_{1} a_{1}, \end{matrix}

(4)

ill.

\begin{matrix} m_{2} g - 2 K_{2} = m_{2} a_{2} \end{matrix}

(5)

mozgásegyenletek írhatók fel. A súlyponti és a kerületi gyorsulások közti összefüggést az határozza meg, hogy a fonál egyik hengeren sem csúszik meg:

\begin{matrix} a_{1} = R β + r_{1} β_{1}, & (6) \\ a_{2} = r_{2} β_{2} - R β . & (7) \end{matrix}

Ezekből az egyenletekből kifejezhető a leeső hengerek súlypontjának gyorsulása:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{2}{3} g \frac{3 M + 3 m_{1} + m_{2}}{3 M + 2 (m_{1} + m_{2})}, a_{2} = \frac{2}{3} g \frac{3 M + m_{1} + 3 m_{2}}{3 M + 2 (m_{1} + m_{2})}, \end{matrix}

a fonalakban ébredő erő:

\begin{matrix} K_{1} = \frac{m_{1} g}{6} \cdot \frac{3 M + 4 m_{2}}{3 M + 2 (m_{1} + m_{2})}, K_{2} = \frac{m_{2} g}{6} \cdot \frac{3 M + 4 m_{1}}{3 M + 2 (m_{1} + m_{2})}, \end{matrix}

valamint a középső henger szöggyorsulása:

\begin{matrix} β = \frac{g}{R} \cdot \frac{2 (m_{1} - m_{2})}{3 M + 2 (m_{1} + m_{2})} . \end{matrix}

Érdekes, hogy a kapott mennyiségek függetlenek a hengerek sugarától, eltekintve attól, hogy

β

függ az

R

sugártól.

Kéki Sándor (Hajdúnánás, Kőrösi Csoma S. Gimn., III. o. t.)