Kezdőlap


Feladat:	1730. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kéki Sándor , Oszlányi Gábor , Szűcs Péter , Varga Kálmán
Füzet:	1982/február, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Tapadó súrlódás, Egyéb merev test egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/október: 1730. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A pálcára ható erőket az 1. ábrán tüntettük fel. Tekintsük a súrlódási erőket akkor pozitívnak, ha az ábrán jelölt irányba mutatnak. Az erők vízszintes, ill. függőleges összetevőire vonatkozó egyensúlyi egyenletek:

\begin{matrix} G + σ (L + c) + F_{1} = F_{2} cos α + S_{2} sin α, & (1) \\ S_{1} + S_{2} cos α = F_{2} sin α . & (2) \end{matrix}

Az egyenletek kényelmesebb rendezése érdekében a forgatónyomatékok egyensúlyát az

O

és az

A

pontra egyaránt felírjuk:

1. ábra

\begin{matrix} F_{1} c cos α + S_{1} c sin α = \frac{σ}{2} (L^{2} - c^{2}) cos α + G L cos α . & (3) \\ F_{2} c = σ (L + c) \frac{L + c}{2} cos α + G (L + c) cos α . & (4) \end{matrix}

S_{1}

és

S_{2}

tapadó súrlódási erőkre igaz, hogy

\begin{matrix} | S_{1} | \leq F_{1} μ, & (5) \\ | S_{2} | \leq F_{2} μ, & (6) \end{matrix}

a nyomóerők pedig nem lehetnek negatívak:

\begin{matrix} F_{1} \geq 0, & (7) \\ F_{2} \geq 0 . & (8) \end{matrix}

A (4) egyenletből

F_{2}

egyértelműen meghatározható.

F_{1}, S_{1}

és

S_{2}

azonban az egyenletrendszerből nem számítható ki, a feladat statikailag határozatlan. A következőkben

S_{1}

-et és

S_{2}

-t

F_{1}

-gyel fejezzük ki, majd megvizsgáljuk, hogy milyen

(F_{1}, L)

értékpárok esetén elégíthetők ki az (5)‐(7) egyenlőtlenségek.

S_{1}

-et (3)-ból kifejezve, (5)-öt a

- F_{1} μ \leq S_{1} < F_{1} μ

alakba írva és

S_{1}

értékét behelyettesítve, a következő egyenlőtlenség adódik:

\begin{matrix} F_{1} (1 - μ tg α) \leq \frac{σ}{2} \frac{L^{2} - c^{2}}{c} + G \frac{L}{c} \leq F_{1} (1 + μ tg α) \end{matrix}

(9)

A számadatokat cm-ben és N-ban behelyettesítve innen a

\begin{matrix} 0 \leq F_{1} \leq \frac{15}{14} (\frac{L^{2}}{\sqrt[]{40}} - \sqrt[]{40} + \frac{50}{\sqrt[]{40}} L) & (9a) \\ F_{1} \geq \frac{15}{16} (\frac{L^{2}}{\sqrt[]{40}} - \sqrt[]{40} + \frac{50}{\sqrt[]{40}} L) & (9b) \end{matrix}

egyenlőtlenségek adódnak. (9a) jobb oldala akkor pozitív, ha

L > 0, 787 cm

S_{2}

-t (2)-ből,

F_{2}

-t (4)-ből kifejezve és a (6) egyenlőtlenségbe írva, az alábbi egyenlőtlenségek adódnak:

\begin{matrix} F_{1} + [G (1 + \frac{L}{c}) + \frac{σ}{2} \frac{{(L + c)}^{2}}{c}] sin α cos α (μ + tg α) \geq G \frac{L}{c} + \frac{σ}{2} \frac{L^{2} - c^{2}}{c} \geq \\ \geq F_{1} + [G (1 + \frac{L}{c}) + \frac{σ}{2} \frac{{(L + c)}^{2}}{c}] sin α cos α (tg α - μ), \end{matrix}

numerikusan

\begin{matrix} 0 \leq F_{1} \leq \frac{L^{2} - 40}{\sqrt[]{40}} + \frac{50}{\sqrt[]{40}} L - [50 (1 + \frac{L}{\sqrt[]{40}}) + \frac{{(L + \sqrt[]{40})}^{2}}{\sqrt[]{40}}] \cdot \frac{1}{25} & (10a) \\ F_{1} \geq \frac{L^{2} - 40}{\sqrt[]{40}} + \frac{50}{\sqrt[]{40}} L - [50 (1 + \frac{L}{\sqrt[]{40}}) + \frac{{(L + \sqrt[]{40})}^{2}}{\sqrt[]{40}}] \cdot \frac{4}{25} & (10b) \end{matrix}

(10a) jobb oldala akkor pozitív, ha

L > 1, 117 cm

. A (9a), (9b), (10a) és (10b) egyenlőtlenségek által meghatározott tartományokat (kis torzítással) a 2. ábrán rajzoltuk fel.

2. ábra

Valamennyi egyenlőtlenség teljesül a bevonalkázott területen, így ennek bármely pontjához tartozó

L

és

F_{1}

értékeket felhasználhatjuk arra, hogy az (1)‐(4) egyenletek segítségével egy lehetséges egyensúlyi helyzetben fellépő erőket meghatározzuk.
A legkisebb

L

hosszúság a (10a) és (9b) egyenlőtlenségek határesetének metszéspontjához tartozik, az így adódó egyenletből akkor van megoldás, ha

L \geq 16, 8 cm

L + c \geq 23, 1 cm

Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)

Megyjegyzés. A legtöbb megoldó feltételezte, hogy a megcsúszás határhelyzetében

S_{1}

és

S_{2}

az 1. ábrán berajzolt irányú és maximális értékét veszi fel. Bár ez a feltevés jelen esetben helyesnek bizonyul, sokszor előfordul, hogy hasonló határozatlan feladatokban félrevezető eredményt szolgáltat. Nem ad lehetőséget arra sem, hogy a határesettől eltérő helyzeteket vizsgáljunk. Ezek a dolgozatok ‐ ha egyébként hibátlanok voltak ‐ 4 pontot kaptak.