Feladat:	1728. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fáth Gábor ,  Kovács Tamás
Füzet:	1982/március, 131 - 132. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Erőrendszer eredője, Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/október: 1728. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a rúd vízszintessel bezárt szöge $\alpha$. A rúdra az 1. ábrán feltüntetett három erő hat: a $G$ súlyerő, valamint az edény által a rúdra gyakorolt $F_1$, illetve $F_2$ erő. Mivel a rendszerben nincs súrIódás, $F_1$ erő az edény falára merőleges hatásvonalú, $F_2$ pedig a rúd irányára merőleges hatásvonalú. A rendszer egyensúlyának feltétele, hogy e három erő hatásvonala egy ponton menjen át. Mivel $F_1$ sugárirányú, $F_2$ pedig a rúdra merőleges irányú, az erők hatásvonala Thales tétele miatt a 2. ábrán feltüntetett kör kerületén metszi egymást. $OC$ szakasz merőleges $BD$-re, így $DC=CB$, ezért a $DC$ íven nyugvó $DAC\sphericalangle$ egyenlő a $CB$ íven nyugvó $CAB\sphericalangle$-gel, azaz $CAB\sphericalangle =\alpha$. Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle AB=2R\text{cos}2\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $L=AP=AB/\text{cos}\alpha$, az előző egyenletet felhasználva $\begin{array}{c}{\displaystyle L=\frac{2R\text{cos}2\alpha }{\text{cos}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenletet $\text{cos}\alpha$-ra oldjuk meg: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle L\text{cos}\alpha =2R\left(2\text{cos}{}^2\alpha -1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4R\text{cos}{}^2\alpha -L\text{cos}\alpha -2R=0.}\hfill \end{array}}$ Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{L+\sqrt[]{L^2+32R^2}}{8R}\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenlet másik gyöke $\text{cos}\alpha$-ra negatív értéket adna, de ez nem lehetséges, mivel $\alpha$ a vízszintessel bezárt szög, így $0\leqq \alpha \leqq {90}^{\circ }$.   1. ábra   2. ábra Most határozzuk meg a rúd lehetséges hosszát! ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 0\leqq \alpha \leqq {90}^{\circ }\mathrm{,}\text{így}1\geqq \text{cos}\alpha \geqq \mathrm{0,}\text{azaz}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 1\geqq \frac{L+\sqrt[]{L^2+32R^2}}{8R}\geqq 0.}\hfill \end{array}}$ Az egyenlőtlenség jobb oldala mindig teljesül. Vizsgáljuk az egyenlőtlenség bal oldalát! Átrendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle 8R\geqq L+\sqrt[]{L^2+32R^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $2L\leqq 4R$ adódik. A rúd minimális hosszának meghatározásához vizsgáljuk ismét a 2. ábrát! Jelölje $P$ a $G$ súlyerő támadáspontját! A rúd hossza $2L$,  $AP=L$, így $PC\leqq L$ kell, hogy teljesüljön. Az $ACD$ háromszögben $AC=2R\text{cos}\alpha$, így $PC=AC-L=2R\text{cos}\alpha -L$. Az előző egyenlőtlenségbe helyettesítve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 2R\text{cos}\alpha -L\leqq L\mathrm{,}\text{azaz}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle R\text{cos}\alpha \leqq L\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A $\text{cos}\alpha$-ra kapott összefüggést felhasználva: $\begin{array}{c}{\displaystyle R\cdot \frac{L+\sqrt[]{L^2+32R^2}}{8R}\leqq L\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenlőtlenséget rendezve $2R\sqrt[]{\frac{2}{3}}\leqq 2L$ adódik. A rúd vízszintessel bezárt szögének cosinusa tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{L+\sqrt[]{L^2+32R^2}}{8L}\mathrm{,}}\end{array}$ lehetséges hossza pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2R\sqrt[]{2/3}\leqq 2L\leqq 4R\mathrm{.}}\end{array}$    Fáth Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)