Kezdőlap


Feladat:	1726. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csillag Péter , Erdős László , Fodor Gyula , Furó István , Kristóf Péter
Füzet:	1982/február, 89 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Párhuzamos erők eredője, Hajlítás, Szakítószilárdság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/október: 1726. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rúd bármely pontjában ható erő csak a rögzített vég és az erő támadáspontja között elhelyezkedő rúddarabra hat (ez a rúddarab deformálódik), a támadáspontján kívüleső rúddarab ,,nem érzi'' az erő jelenlétét (ez a rész nem deformálódik).
Hogy a rögzítési ponttól

x

távolságra levő

A

pontban, eltörik-e a rúd vagy sem, az attól függ, hogy a ponton kívül (a rögzítési ponttól távolabb) ható erők által a pontra ható forgatónyomaték abszolút értéke kisebb vagy nagyobb-e

G \cdot l

-nél (1. ábra). Ha kisebb, úgy nem törik el az

A

pontban a rúd, ha nagyobb, akkor eltörik. (Nem csak a végpontbeli törést kell vizsgálnunk.) Vizsgáljuk meg, milyen feltételt rovunk ki így

G'

-re.
Ha

0 < x < l

akkor mindhárom erő támadáspontján belül vagyunk, tehát mindhárom erő forgatónyomatékát figyelembe kell vennünk.

1. ábra

\begin{matrix} - G l < (l - x) G - (2 l - x) F + (3 l - x) G' < G l . \end{matrix}

(1)

l < x < 2 l

, akkor

\begin{matrix} - G l < - (2 l - x) F + (3 l - x) G' < G l . \end{matrix}

(2)

2 l < x < 3 l

akkor a feltétel:

\begin{matrix} - G l < (3 l - x) G' < G l . \end{matrix}

(3)

Ha azt akarjuk, hogy a rúd ne törjön el sehol, úgy mindhárom egyenlőtlenségpárnak teljesülnie kell. Vizsgáljuk (3)-at. Ha

G'

G

irányú (lefelé mutat):

\begin{matrix} (3 l - x) G' < G l; 2 l < x < 3 l . \end{matrix}

A bal oldal

x = 2 l

-nél maximális, így feltételünk

\begin{matrix} G' < G . \end{matrix}

Ugyanígy, ha

G' G

-vel ellentétes irányú:

\begin{matrix} - G < G' . \end{matrix}

Azaz a (3) feltételünk átalakítva úgy, hogy minden

x

-re teljesüljön:

\begin{matrix} - G < G' < G . \end{matrix}

(3a)

Vizsgáljuk a (2) feltétel jobb oldalát:

\begin{matrix} - (2 l - x) F + (3 l - x) G' < G l . \end{matrix}

Átrendezve és átalakítva kapjuk, hogy

\begin{matrix} (3 l - x) G' < G l + (3 l - x) F - l F, \end{matrix}

így

G'

-re a következő feltétel adódik:

\begin{matrix} G' < (G - F) \frac{l}{3 l - x} + F . \end{matrix}

F < G

, azaz

G - F > 0

, az egyenlőtlenségnek

| (G - F) \frac{l}{3 l - x} |

minimális értékénél is fenn kell állnia.

\frac{l}{3 l - x}

minimális, ha

x = l

: így

G' < \frac{G + F}{2}

.
Ha

F > G

, azaz

G - F < 0

, az egyenlőtlenségnek

| (G - F) \frac{l}{3 l - x} |

maximális értékénél is fenn kell állnia, azaz

x = 2 l

-nél is. Így

G' < G - F + F

, azaz

G' < G

. A másik oldal:

\begin{matrix} - G l < - (2 l - x) F + (3 l - x) G', \end{matrix}

átalakítva

\begin{matrix} (3 l - x) F - F l - G l < (3 l - x) G', \end{matrix}

innen

\begin{matrix} F - (F + G) \frac{l}{3 l - x} < G' . \end{matrix}

Hasonlóan az előző meggondolásokhoz, mind

F < G

, mind

F > G

, esetben:

\begin{matrix} G' > \frac{F - G}{2}, \end{matrix}

mivel az egyenlőtlenségnek

\frac{l}{3 l - x}

minimális értékénél is fenn kell állnia. (2) feltételünk átalakítva tehát a következő lesz:

\begin{matrix} \frac{F - G}{2} < G' < \frac{F + G}{2}, ha F < G, & (2a) \\ \frac{F - G}{2} < G' < G, ha F > G . & (2b) \end{matrix}

Az (1) feltételt is hasonlóan vizsgálva, mint az előzőket kapjuk, hogy:

\begin{matrix} (l - x) G - (2 l - x) F + (3 l - x) G' < G l, \\ G' < F - G + (3 G - F) \frac{l}{3 l - x} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} F < 3 G \end{matrix}