Kezdőlap


Feladat:	1724. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bedey György , Bocsák András , Breiner László , Csomós Csaba , Deli Árpád , Divós István , Egyházi Zsolt , Gárdos László , Károlyi Gyula , Keglevich Tibor , Lakatos Róbert , Lóczi Géza , Márton Ágnes , Meleg László , Mogyorósi András , Reviczki Zoltán , Seregdy Tamás , Strublik Sándor , Süvegh Gábor , Varga Kálmán
Füzet:	1982/január, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Görbevonalú mozgás lejtőn, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Centrifugális erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/szeptember: 1724. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban nem definiáltuk pontosan, hogy milyen kúp palástján helyezkedik el a test. Ezért a feladatot két módon értelmezhetjük: a kúp $a)$ az alapjára állított kúp (1. ábra), $b)$ a csúcsára állított kúp (2. ábra).
Tekintsük az $a)$ esetet. Olyan szögsebesség meghatározása a feladatunk, amely mellett a test még nem csúszik meg a kúp palástján. Vizsgáljuk a rendszert a kúppal együtt forgó koordináta‐rendszerből. Ebben az esetben a testre ható erők egyensúlyt tartanak, eredőjük tehát nulla. Írjuk fel a testre ható erők vízszintes, illetve függőleges komponenseinek egyensúlyát:

\begin{matrix} G - F_{s} cos α - F_{n y} sin α = 0, \\ F_{c f} - F_{s} sin α + F_{n y} cos α = 0, \end{matrix}

ahol

F_{s}

a testre ható súrlódási erő

F_{n y}

a testre ható nyomóerő,

F_{c f}

a testre ható centrifugális erő,

G

pedig a testre ható súlyerő. Az 1. ábrán használt jelöléseinkkel:

\begin{matrix} m g - F_{s} cos α - F_{n y} sin α = 0, \\ m r sin α \cdot ω^{2} - F_{s} sin α + F_{n y} cos α = 0. \end{matrix}

E két egyenletből álló egyenletrendszert

F_{s}

-re és

F_{n y}

-re megoldva:

\begin{matrix} F_{s} = m g sin α - m r sin α cos α \cdot ω^{2}, & (1) \\ F_{n y} = m g cos α + m r sin^{2} α \cdot ω^{2} . & (2) \end{matrix}

Tudjuk, hogy a súrlódási erő és a nyomóerő között a következő összefüggés áll fenn:

F_{s} \leq μ F_{n y}

.
Abban az esetben, amikor a test még éppen nem csúszik meg a paláston, az előző egyenlőtlenség egyenlőség formájában teljesül. Felhasználva az (1), (2) egyenleteket:

\begin{matrix} m g cos α + m r sin^{2} α \cdot ω^{2} = μ (m g sin α - m r sin α cos α \cdot ω^{2}) . \end{matrix}

1. ábra

Innen

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{g}{r sin α} \cdot \frac{μ sin α - cos α}{sin α + μ cos α}} \end{matrix}

Számadatainkkal:

ω = 1, 585 l/s

adódik.
Abban az esetben tehát, amikor a kúp a palástján áll, legfeljebb

1,585 l/s

szögsebességgel forgathatjuk a kúpot ahhoz, hogy a test még ne csússzék meg.

2. ábra

Nézzük most a

b)

esetet. Az

a)

esethez hasonló módon az erők egyensúlyát felírva, (l. a 2. ábrát):

\begin{matrix} G + F_{s} cos α - F_{n y} sin α = 0, \\ F_{c f} - F_{s} sin α - f_{n y} cos α = 0. \end{matrix}

Az egyenletrendszert megoldva, az ábrán használt jelöléseinkkel:

\begin{matrix} F_{n y} = m g sin α + m r sin α cos α \cdot ω^{2}, \\ F_{s} = - m g cos α + m r sin^{2} α \cdot ω^{2} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy maximális szögsebesség esetén

F_{s} = μ F_{n y}

ω

-ra a következő eredmény adódik:

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{g}{r sin α} \cdot \frac{μ sin α + cos α}{sin α - μ cos α}} \end{matrix}

Számadatainkkal:

ω = 4, 73

l/s.
Abban az esetben tehát, amikor a kúp a csúcsán áll, legfeljebb

4, 73

l/s szögsebességgel forgathatjuk a kúpot ahhoz, hogy a test még ne csússzék meg.

Lakatos Róbert (Kalocsa, I. István G., IV. o. t.)

Megjegyzés. A helyes megoldásért járó 4 pontot azok a megoldók kapták, akik az

a)

vagy a

b)

esetet hibátlanul megoldották. 5 pontot kaptak azok a megoldók, akik mind a két esetet hibátlanul oldották meg.