Feladat: 1723. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Drávucz Katalin ,  Oszlányi Gábor 
Füzet: 1982/január, 42 - 43. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb fotometria, Áram hőhatása (Joule-hő), Közelítő számítások, numerikus módszerek, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/szeptember: 1723. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a körte ellenállása a feszültségtől független, akkor teljesítménye U2/R-rel adható meg. A körte üzemeltetési költsége a teljes élettartam során:

E⋅U2/(R⋅103)⋅a,
ahol E(=E0⋅2-0,1U) a körte élettartama, a(=2,1 Ft/kWh) az üzemeltetési költség, R(=200Ω) pedig a körte ellenállása.


Az egységnyi idő alatt kisugárzott fényenergia
U2/(R⋅103)G,
ahol G(=G0U1,7) a fénykibocsátás hatásfoka.
Akkor üzemeltethetjük a körtét a legolcsóbban, ha egységnyi idő alatti egységnyi fénykibocsátás a legkisebb költséget kívánja, azaz ha az
f(U)=EU2/(R⋅103)⋅a+AEGU2/(R⋅103)
függvénynek minimuma van (A a villanykörte ára). Beírva az egyes kifejezéseket és egyszerűsítve kapjuk:
f(U)=αU-1,7(1+β20,1UU-2),
ahol α=42,5 és β=0,372, értéküket a következő adatok alapján kaptuk meg: G0=4⋅10-2 kandela/kW, a=2,1 Ft/kWh, E0=2,048⋅106 h, R=200Ω, A=8 Ft.
Feladatunk tehát az f(U) függvény minimumát megkeresni az U függvényében. Ezt úgy tehetjük meg a legegyszerűbben, hogy tabellázzuk az f(U) függvényt. Az f(U) függvény minimumhoz közeli részét láthatjuk az ábrán. Ebből meghatározhatjuk a minimumhoz tartozó U értéket, ami ≈138,5 V. Természetesen deriválással is meghatározhatjuk a minimumot. Ekkor az df(U)/du=0 egyenletet kell megoldanunk. Itt célszerű a
20,1U=e0,1Uln2
átírást alkalmazni. A hatvány, illetve közvetett függvény deriválási szabályait felhasználva kapjuk:
f'(U)=-1,7U-2,7aG0+AKE0G0103(0,1⋅ln2⋅e0,1Uln2⋅U-3,7-e0,1Uln2⋅3,7U-4,7)
A minimum feltétele, hogy f'(U)=0; egyszerűsítések után kapjuk, hogy
e-0,1U⋅ln2=ARU-11031,7⋅aE0(0,1⋅ln2-3,7U-1).
Ennek az egyenletnek a megoldása is csak próbálgatással lehetséges. Egy viszonylag egyszerű út az, hogy a jobb oldalt és a bal oldalt is tabellázzuk és keressük azon U értékeket, ahol körülbelül egyenlő a két oldal. Láthatjuk, hogy ez a számolás sem egyszerűbb annál, mint amikor az f(U) függvényt ábrázoltuk.
 

 Drávucz Katalin (Szolnok, Verseghy F. G., IV. o. t.)
és Oszlányi Gábor (Miskolc, F. G., IV. o. t.)