Feladat:	1720. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ács József ,  Englander János ,  Erdős László ,  Farkas Ödön ,  Fáth Gábor ,  Fodor Gyula ,  Ilosvay Ferenc ,  Kala Tamás ,  Kalocsai Tibor ,  Kerner Anna ,  Kovács Tamás ,  Megyesi Gábor ,  Perjés Zsolt ,  Rácz Attila ,  Rozenberszki Zsolt ,  Sarudi László ,  Szabó Ádám ,  Tóth Mihály
Füzet:	1982/február, 88 - 89. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/szeptember: 1720. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. ábra   2. ábra Az első esetben $1\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">óra</span>}$ alatt mindkét autó éppen a kereszteződéshez ér, távolságuk ekkor $0\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km</span>}$. A párhuzamos szelők tételéből következik, hogy távolságuk egyenletesen csökken a kezdeti $\sqrt[]{l_1^2+l_2^2}=100\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km</span>}$-ről nullára (1. ábra), így a távolság változásának sebessége $100\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km/óra</span>}$. A második esetben a két autót összekötő egyenes nem önmagával párhuzamosan tolódik el (2. ábra), így a távolság változásának sebessége nem állandó. Az autók távolsága az idő függvényében a Pitagorasz-tétel alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle d\left(t\right)=\sqrt[]{{\left(l_1-v_{1}t\right)}^2+{\left(l{\text{'}}_2-v_{2}t\right)}^2}=100\sqrt[]{{\left(t-1\mathrm{,}12\right)}^2+0\mathrm{,}0256}}\end{array}$ (1) (a távolságot km-ben, az időt órában mérve). Ez a kifejezés akkor minimális, ha a négyzetes tag nulla, azaz $t=1\mathrm{,}12\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">óra</span>}$. A távolság ekkor $d_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">min</span>}}=16\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km</span>}$. A két autó közötti távolság változásának sebessége az idő függvényében $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(t\right)=\frac{100\left(t-1\mathrm{,}12\right)}{\sqrt[]{{\left(t-1\mathrm{,}12\right)}^2+0\mathrm{,}0256}}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">(km/óra)</span>}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Ez az összefüggés (1) idő szerinti differenciálásával határozható meg. (Helyesnek fogadtuk el azokat a dolgozatokat is, melyek csak egy adott szakaszra vonatkozó átlagsebességet határoztak meg. Az indulástól a minimális távolság eléréséig például $v=86\mathrm{,}7\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km/óra</span>}$ az átlagsebesség.)    Ács József (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn. II. o. t.)