Kezdőlap


Feladat:	1713. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bocsák András , Guba Kornél , Gyuricza Béla , Mogyorósi András , Oszlányi Gábor , Sczigel Gábor , Szövényi-Lux Mátyás , Varga Kálmán
Füzet:	1981/december, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/május: 1713. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrán a

M

m_{1}

m_{2}

tömegű testekre ható erőket ábrázoltuk.

Ezek alapján megkaphatjuk az egyes tömegek mozgását leíró egyenleteket:

\begin{matrix} m_{1} g - N_{1} = 0, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} K - m_{1} a_{1} = 0, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} m_{2} g - K = m_{2} a_{2}, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} N_{2} = m_{2} A, \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} N - m_{1} g - N_{1} - K = 0, \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} K - N_{2} - S = M A . \end{matrix}

(6)

A kötél nyújthatatlan, ezért a gyorsulások nem függetlenek, hanem

\begin{matrix} a_{2} = a_{1} + A . \end{matrix}

(7)

M

tömegű test csúszása esetén:

\begin{matrix} S = μ N . \end{matrix}

(8)

Két gyorsuló rendszer által megtett utak aránya azonos idejű, kezdősebesség nélküli mozgások esetén megegyezik a gyorsulások hányadosával. Így a

M

tömegű test elmozdulása azalatt, amíg a

m_{2}

test

h

utat tesz meg:

\begin{matrix} s = h \cdot (A / a_{2}) . \end{matrix}

(9)

(1)‐(8)-ból kifejezzük

A

-t és

a_{2}

-t:

\begin{matrix} A = g m_{1} m_{2} \frac{M + m_{2} + (M + m_{1}) μ}{m_{1} m_{2} (1 - μ) + (m_{1} + m_{2}) (M + m_{2})}, \end{matrix}

\begin{matrix} a_{2} = g \frac{m_{1} m_{2} (1 - μ) + m_{2} (M + m_{2}) - m_{1} (M + m_{1}) μ}{m_{1} m_{2} (1 - μ) + (m_{1} + m_{2}) (M + m_{2})} . \end{matrix}

Ezeket az értékeket (9)-be beírva, megkapjuk a

M

tömegű test elmozdulását:

\begin{matrix} s = h \frac{m_{1} m_{2} (1 - μ) - μ (m_{1} + m_{2}) (M + m_{1})}{[M + m_{2} + m_{1} (1 - μ)] m_{2} - μ m_{1} (M + m_{1})} . \end{matrix}

Megoldásunk csak akkor helyes, ha

A > 0

. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a

M

tömegű test nem csúszik. Ekkor

A = 0

és

S ≦ μ N .

Beírva ezeket az (1)‐(8) egyenletekbe, megkaphatjuk, hogy mely súrlódási együttható értékeknél nem mozdul meg

M

\begin{matrix} μ ≧ \frac{m_{1} m_{2}}{(m_{1} + m_{2}) (M + m_{1}) + m_{1} m_{2}} . \end{matrix}

Ebben az esetben a feladat megoldásának természetesen

s = 0

adódik.

Guba Kornél (Kazincbarcika, Ságvári E. Gimn., III. o. t.) és
Szörényi-Lux Mátyás (Bp. Piarista Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján