A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A pattogás során a golyó egyre nagyobb vízszintes sebességösszetevőhöz jut, miközben a forgó mozgás kerületi sebessége csökken. Ha a két sebesség kiegyenlítődik, vagyis , akkor ettől a pillanattól kezdve a golyó elméletileg a végtelenségig fog állandó vízszintes sebességöesszetevővel és állandó szögsebességgel forogva pattogni. A mozgás függőleges összetevője periodikus: a magasságból szabadon eső golyó tökéletesen rugalmasan ütközve visszapattan és magasságig emelkedik, majd újra visszaesik stb. Vizsgáljuk az -edik ütközést! A golyó lefelé mutató függőleges sebességösszetevővel érkezik a lapra, és felfelé mutató függőleges sebességgel hagyja el azt, az ütközés során a függőleges impulzus-változás 2 . Erről tudjuk, hogy | | (1) |
1. ábra ( a lap és a golyó között fellépő nyomóerőnek az ütközés idejére vett átlaga, mivel az ütközés nagyon rövid ideig tart, az impulzusváltozás pedig véges nagyságú, -nak nagy értéknek kell lennie, ezért mellette elhanyagolható.) A vízszintes impulzusváltozást a súrlódási erő hozza létre, feltéve hogy a golyó az egész idő alatt "köszörül'' és így | | (2) | tehát A súrlódási erő forgatónyomatéka a forgást fékezi: | | (4) | így Itt felhasználtuk, hogy a tömör gömbre . A (3) és (5) összefüggésekből a golyó -edik ütközés utáni vízszintes sebessége és szögsebessége Mindez akkor igaz, ha a golyó az -edik ütközés teljes időtartama alatt köszörült, azaz vagyis Mi történik, ha a (9) egyenlőtlenség -re még igaz, de -re már nem áll fenn ( lehet is)? Ekkor az -edik ütközés alatt, abban a pillanatban amikor vízszintes sebesség és a forgásból adódó kerületi sebesség azonossá válik, megszűnik a köszörülés, megszűnik a súrlódás, a golyónak sem vízszintes sebességösszetevője, sem a szögsebessége nem változik tovább. Nyilván a további pattogások során sem változnak ezek a mennyiségek. Legyen az erő átlaga arra a időre, amíg az n-edik ütközés során a köszörülés tart, és legyen a beálló szögsebesség és vízszintes sebességössztevő rendre és ! Ekkor | | (10) | | | (11) | A (10), (11) és (12) egyenletrendszer megoldása (6) és (7) felhasználásával: Tehát a golyó vízszintes irányú sebessége minden ütközés során értékkel nő, míg a szögsebessége értékkel csökken. Ez egészen addig tart, amíg a sebesség el nem éri a , a szögsebesség pedig a értéket, az ezután következő pattanások során már sem a vízszintes sebesség, sem pedig a szögsebesség nem változik. A 2. ábra a golyó függőleges, vízszintes sebességét, valamint az szögsebességét ábrázolja az idő függvényében.
2. ábra Kovács Attila (Kalocsa, I. István Gimn., III. o. t.) és Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján |