A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vizsgáljuk azt az esetet, amikor a láda gyorsulással mozog a lejtőn felfelé, ahol . Ekkor a ládára ható erőket az ábra szemlélteti.
Legyen a láda tömege , a húzóerő nagysága , ennek lejtő irányú komponense , a lejtőre merőleges komponense , az erő lejtővel bezárt szöge (l. az ábrát). Írjuk fel a ládára ható lejtő irányú, illetve lejtőre merőleges erők egyensúlyát:
ahol a ládára ható nyomóerő. A (2) egyenletből adódik a megkötés. A feladatunk minimalizálása. (1), (2)-ből -re és -ra kapjuk: | | (4) | akkor minimális, ha négyzete minimális.
Ez -nak másodfokú függvénye, amelyben a négyzetes tag együtthatója pozitív. Így csakugyan felveszi minimumát. Mivel a minimum helye független a konstans tagtól, elég az | | (5) | kifejezést vizsgálni. Tudjuk, hogy egy parabola minimumhelye gyökhelyeinek számtani közepe. (5) gyökhelyei és | | így a minimumhely | | átalakítva | | feltéve, hogy teljesül (3), azaz ha . (4) alapján | | Így irányának a vízszintessel bezárt szöge . Ez akkor jó megoldás, ha . Ez most teljesül, ugyanis ha , akkor adódik, majd mindkét oldal tangensét véve: , innen , ebből pedig adódik, de ekkor lenne, így nem teljesülne. Most vizsgáljuk azt az esetet, amikor . Ebben az esetben is teljesülnek az (1), (2) egyenletek, de most a minimális -et nem tudjuk úgy meghatározni, mint az előbb. Ebben az esetben ugyanis ha az előző módon számolnánk értékét, azt kapnánk, hogy a láda elhagyja a lejtőt. Az kell tehát, hogy teljesüljön, és e mellett a feltétel mellett legyen minimális. Mivel a szóban forgó másodfokú függvény intervallumon szigorúan monoton csökken, akkor lesz minimális, ha -t a lehető legnagyobbnak, tehát -nak választjuk. Ekkor pedig adódik, így . Ebben az esetben tehát , feltéve, hogy . Ez most is teljesül, ami a következő átalakításokból látszik. Ha , akkor , így , de ekkor , vagyis , de feltételünk szerint ez nem lehetséges. A feladat megoldása tehát tetszőleges esetén: | | és | |
Mandula Gábor (Budapest, Radnóti M. Gyak. Gimn., II. o. t.) |