Feladat:	1698. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth István ,  Hudi István
Füzet:	1981/november, 171 - 172. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Toroid mágneses tere, Szolenoid mágneses tere, Hosszú egyenes vezető mágneses tere, Kölcsönös indukció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/február: 1698. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $I$ áram esetén az egyenes tekercs kétféle mágneses teret hoz létre: belsejében a tekercs tengelyével párhuzamos irányú, homogén, $H_1={\mu }_{0}NI/l$ erősségű teret; valamint ‐ mivel a benne folyó áramnak van eredő hosszirányú vetülete ‐ egy közel körkörös erővonalakkal jellemezhető külső mágneses teret, amelynek erőssége $H_2$. Elegendően nagy távolságban a külső tér közelíthető egy hosszú egyenes vezető terével: $\begin{array}{c}{\displaystyle H_2={\mu }_0\frac{1}{2\pi r}\mathrm{.}}\end{array}$ (Az egyenes tekercs sugara $\sqrt[]{A_1}/\pi \approx 1\mathrm{,}8\text{ cm}$, így az $r=20\text{ cm}$ távolságot "elegendően nagynak'' fogjuk tekinteni.) Az áram növelésével változtatott mágneses tér feszültséget indukál a félkörvezetőből és a féltoroidból álló keretben. Ennek kiszámításához célszerű $H_1$ és $H_2$ fluxusát külön-külön meghatározni. Az egyenes tekercs belsejében levő tér fluxusa a tekercset körülvevő keretben: ${\Phi }_1=A_1{H}_1$. Ez független (az egyszeresen körülvevő) vezető keret konkrét alakjától, hiszen az a tekercsen kívül halad, ahol $H_1=0$. A $H_2$ erősségű tér fluxusának meghatározásakor azonban lényeges a vezető keret alakja. Az $r$ sugarú, $N_2$ menetszámú, féltoroidban a fluxus: ${\Phi }_2=N_2{A}_2{H}_2\left(r\right)=N_2{A}_2{\mu }_0\frac{I}{2\pi r}$, hiszen a körkörös erővonal a féltoroid minden hurkát merőlegesen metszi. A fluxus egy zárt felületre vonatkoztatott mennyiség. A félkörvezető úgy zárja a féltoroidot, hogy a kifeszített felületen további fluxusjárulék nem jön létre, mert a $H_2$ erősségű tér erővonalai a félkörvezető síkját nem metszik. Az áram növelésével a mágneses tér két összetevőjétől származó fluxusváltozás feszültséget indukál: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle |U_1|=\frac{\Delta {\Phi }_1}{\Delta t}={\mu }_0{A}_1\frac{N_1}{l}\frac{\Delta I}{\Delta t}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle |U_2|=\frac{\Delta {\Phi }_2}{\Delta t}={\mu }_0{A}_2\frac{N_2}{2\pi r}\frac{\Delta I}{\Delta t}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha a toroid megfelelő irányban van tekercselve, a két feszültség ellentétes irányú áramot hoz létre a zárt vezetőben. Áram abban az esetben nem folyik, ha $|U_1|=|U_2|$, azaz a kérdezett menetszám: $\begin{array}{c}{\displaystyle N_2=N_1\frac{A_1}{A_2}\frac{2\pi r}{l}=12566.}\end{array}$ Az $U_1$ indukált feszültség szimmetriaokok miatt fele-fele arányban jelentkezik az $AB$, illetve a $BA$ íven. Így a toroid végpontjain megjelenő feszültség: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{AB}=\left(1/2\right)U_1=\left(1/2\right){\mu }_0\left(A_1{N}_1/l\right)\left(\Delta I/\Delta t\right)=31\mathrm{,}4\mu \text{V}\mathrm{.}}\end{array}$    Hudi István (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn. IV. o. t.)   Megjegyzések. 1. A fenti megoldásban $H_3$ számolásakor feltételeztük, hogy a hosszú tekercs árambevezetései a tekercs hossztengelyének irányában folytatódnak és a kör nagyon messze záródik. $H_2$-t így egy végtelen hosszú egyenes vezető terével közelíthettük. A tekercshez azonban számos más módon is lehet áramot vezetni. Sok helyes megoldás született egy másik (feltételezett) zsinórelrendezésre, amikor is az áramot a tekercs tengelyére merőlegesen, a körvezetőhöz képest szimmetrikusan vezetik be, ugyancsak nagyon hosszú vezetőkön. Ekkor $H_2$ a $\begin{array}{c}{\displaystyle {\mu }_0\frac{1}{2\pi r}\underset{-\text{ arc}\text{tg}\left(l/2r\right)}{\overset{\text{arc}\text{tg}\left(l/2r\right)}{\int }}\text{cos}\phi \text{ d}\phi }\end{array}$ integrálból határozható meg. Mivel ebben az esetben a $H_3$-tól származó indukció kisebb, ahhoz, hogy ne folyjon áram, nagyobb menetszámú féltoroidot kell alkalmazni ($N_2=14050$). 2. Fogalmi problémák származnak abból, hogy nem konzervatív erőtérről lévén szó, a potenciál nincs egyértelműen definiálva. Szigorúan véve az $A$ és $B$ pontok közti potenciálkülönbség $U_{AB}=\underset{A}{\overset{B}{\int }}\text{<span style="font-weight: bold;">E</span>}\text{ ds}$ (ahol az integrálási út az $A$ és $B$ pontot összekötő vezetődarabban halad). Ez nullának adódik, tükrözve azt a tényt, hogy a vezetőben töltések halmozódnak fel egy kompenzáló teret kialakítva oly módon, hogy ne folyjék áram az $A$ és $B$ pont között. Az így definiált feszültségre egyben teljesül az Ohm-törvény is, $U_{AB}=0$, hiszen $I=0$. Ugyanakkor, ha az $AB$ pontok közé egy voltmérőt kapcsolunk, akkor az $U_1/2$ elektromotoros erőt a műszer jelezni fogja. Az elrendezés bizonyos vonásaiban hasonló egy egyenletesen változó homogén mágneses térbe helyezett tekercs esetéhez; a tekercs végpontjai között nem folyik áram, de voltmérőt rákapcsolva a végpontokon megjelenő elektromotoros erő mérhető.