Feladat:	1697. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Trajber Csaba
Füzet:	1981/november, 169 - 170. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Félvezető dióda, Egyéb kondenzátor, Egyéb változó áram, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/február: 1697. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha a kapcsoló már régóta nyitva van, a körben áram nem folyik, így a kondenzátor töltése $\begin{array}{c}{\displaystyle Q_1=C\cdot E_2\mathrm{.}}\end{array}$ Zárjuk a kapcsolót ($t=0$). Az ábra szerint berajzolt áramok kezdenek folyni, a dióda is vezet, ami látszik a telepek feszültségértékéből. A Kirchhoff-törvények alapján ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle I_1-I_2-I_3=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle -E_2+I_2{r}_2+U_C=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle -U_C+U_D+E_1+I_1{r}_1=0.}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$ A kapcsoló bekapcsolása után hosszú idővel $I_2=0$ lesz, mivel a kondenzátor feltöltődik valamilyen állandó feszültségre. Ekkor az ($1-3$) egyenletekből kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle I_1=I_2=\frac{E_2-E_1-U_D}{r_1+r_2}\mathrm{.}}\end{array}$ Így a kondenzátor feszültsége $\begin{array}{c}{\displaystyle U_C=E_2-r_2{I}_2\mathrm{,}}\end{array}$ töltése pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle Q_{\text{II}}=U_C\cdot C\mathrm{.}}\end{array}$ A töltésváltozás: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta Q=Q_{\text{II}}-Q_{\text{I}}=-r_2{I}_{2}C=\frac{r_2\cdot C\left(E_2-E_1-U_D\right)}{r_1+r_2}=6\mathrm{,}7\cdot {10}^{-6}\text{ C}\mathrm{.}}\end{array}$ Megnézhetjük a $t=0$ utáni $Q\left(t\right)$ időfüggést is. Az $I_3$ áram változtatja meg a kondenzátor töltését, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle I_3\left(t\right)=\frac{\text{d}\left(Q\left(0\right)-Q\left(t\right)\right)}{\text{d}t}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt beírva a Kirchhoff-egyenletekbe $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{\text{d}Q\left(t\right)}{\text{d}t}=\frac{\frac{Q\left(t\right)}{C}-\left(E_1+U_D\right)}{r_1}-\frac{E_2-\frac{Q\left(t\right)}{C}}{r_2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\frac{r_1+r_2}{r_1{r}_{2}C}\mathrm{,}B=\frac{\left(U_D+E_1\right)r_2+E_2{r}_1}{r_1{r}_2}}\end{array}$ helyettesítéssel $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d}Q}{\text{d}t}=-AQ+B\mathrm{.}}\end{array}$ A kezdeti feltétel, $Q\left(0\right)=E_{2}C$ figyelembevételével kapjuk, hogy a kondenzátoron a töltés változását a $\begin{array}{c}{\displaystyle Q\left(t\right)=\left(B/A\right)+\left[E_{2}C-\left(B/A\right)\right]e^{-At}}\end{array}$ függvény írja le.    Trajber Csaba (Sopron, Berzsenyi D. Gimn. IV. o. t.)  dolgozata alapján