Kezdőlap


Feladat:	1690. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Deák Tibor
Füzet:	1981/október, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Induktív ellenállás, Ohmikus ellenállás, Soros RLC-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/január: 1690. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A veszteséges tekercs helyettesíthető egy $L_{0} (= 1 H)$ önindukció ideális tekerccsel sorba kötött $R_{0} (= 628 Ω)$ ellenállással. Az eredő impedancia $Z_{0} = \sqrt[]{R_{0}^{2} + {(L_{0} ω)}^{2}}$ , míg a fázistolásra a $cos φ = R_{0} / Z_{0}$ egyenlet adódik (1. ábra).

1. ábra

A hatásos teljesítmény:

P = U_{e f f} I_{e f f} cos φ

, azaz a fenti kifejezéseket beírva:

\begin{matrix} P = U_{e f f} \frac{U_{e f f}}{Z_{0}} cos φ = U_{e f f}^{2} \frac{R_{0}}{Z_{0}^{2}} = U_{e f f}^{2} \frac{R_{0}}{R_{0}^{2} + {(L_{0} ω)}^{2}} . \end{matrix}

(1)

Vizsgáljuk az általános esetet. Ahhoz, hogy a hatásos teljesítmény ne változzék, míg az ohmos komponens

R_{0}

-ról valamilyen

R

értékre változik, olyan

L

új önindukciót kell választani, hogy az

\begin{matrix} \frac{R_{0}}{R_{0}^{2} + {(L_{0} ω)}^{2}} = \frac{R}{R^{2} + {(L ω)}^{2}} \end{matrix}

egyenlőség teljesüljön.
Átrendezés és gyökvonás után:

\begin{matrix} L ω = \sqrt[]{\frac{R}{R_{0}} (R_{0}^{2} + L_{0}^{2} ω^{2}) - R^{2}} = \sqrt[]{R \frac{Z_{0}^{2}}{R_{0}} - R^{2}} . \end{matrix}

(2)

A valós megoldás feltétele, hogy a gyökjel alatt pozitív szám szerepeljen. Az ohmos összetevő ezért csak a

\begin{matrix} 0 ≦ R ≦ Z_{0}^{2} / R_{0} \end{matrix}

tartományban változtatható, ha azt akarjuk, hogy az önindukció módosításával az eredeti ‐

R_{0}

L_{0}

értékekhez tartozó ‐ teljesítmény visszaállítható legyen.
Konkrét példánk, az

R = R_{0} / 2

természetesen benne van az értelmezési tartományban. Az adatokat behelyettesítve, (2) alapján ekkor az

\begin{matrix} L = \sqrt[]{3 / 2} H=1,22 H \end{matrix}

választás adja az eredeti teljesítményt.
Vegyük észre, hogy a (2) egyenlet egy

Z_{0} / (2 R_{0})

sugarú félkör egyenlete, ha

L ω

-t az

R

függvényében ábrázoljuk (2. ábra).

2. ábra

Ehhez hajtsuk végre az alábbi átrendezést:

\begin{matrix} L ω = \sqrt[]{R \frac{Z_{0}^{2}}{R_{0}} - R^{2}} = \sqrt[]{{(\frac{Z_{0}^{2}}{2 R_{0}})}^{2} - {(\frac{Z_{0}^{2}}{2 R_{0}})}^{2} + R \frac{Z_{0}^{2}}{R_{0}} - R^{2}} = \sqrt[]{{(\frac{Z_{0}^{2}}{2 R_{0}})}^{2} - {(R - \frac{Z_{0}^{2}}{2 R_{0}})}^{2}} \end{matrix}

Deák Tibor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)