Feladat:	1688. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrahám Csongor ,  Bacsó Zsolt ,  Horváth Zoltán ,  Kovács Attila ,  Lakatos Róbert ,  Szalontai Imre
Füzet:	1981/október, 91 - 92. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Gördülés vízszintes felületen, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/január: 1688. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Az egyensúly feltétele az, hogy a rendszerre ható erők és forgatónyomatékok vektori összege zérus legyen, azaz az 1: ábra alapján: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle K\text{cos}\alpha -S=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle N-K\text{sin}\alpha -m_{1}g-m_{2}g=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle K\text{sin}\alpha \cdot R+S_{1}R-m_{2}g\cdot \left(2R\right)=0.}\hfill & \text{(3)}\end{array}}$   1. ábra   Mivel $\alpha ={45}^{\circ }\mathrm{,}\text{sin}\alpha =\text{cos}\alpha =\sqrt[]{2}/2$, ezen kívül határesetben $S={\mu }_{1}N$, (1)-et és (2)-t összeadva, (3)-ba behelyettesítve ${\mu }_1$ legkisebb értékére $\begin{array}{c}{\displaystyle {\mu }_{1\text{min}}=\frac{m_2}{m_1+2m_2}}\end{array}$ adódik, azaz egyensúly van, ha ${\mu }_1\geqq m_2/\left(m_1+2m_2\right)$. $b)$ A mozgás kezdetekor maximális a gyorsulás és a szöggyorsulás (ekkor a legnagyobb a forgatónyomaték), azaz, ha ekkor nem csúszik meg a test, később sem fog megcsúszni. Ezért azt vizsgáljuk meg, hogy a mozgás kezdő pillanatában mekkorának kell lennie ${\mu }_2$-nek a tiszta gördüléshez.   2. ábra   A 2. ábra jelöléseit felhasználva a mozgásegyenletek a fonál elégetésének pillanatában: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle m_{2}g\cdot \left(2R\right)-SR=\left({\Theta }_1+{\Theta }_2\right)\beta \mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle S=\left(m_1+m_2\right)a_2\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle N=m_{1}g+m_2\left(g-a_1\right)\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>6</mn>)}\end{array}}$ ahol $a_2$ a haladó mozgás gyorsulása, $\beta$ a rendszer szöggyorsulása, $a_1$ pedig az $m_2$ tömegű test függőleges gyorsulása. A szöggyorsulás és az $a_1$ ill. $a_2$ gyorsulások között a test merevsége miatt a következő összefüggések állnak fenn: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1=2R\beta ;a_2=R\beta \mathrm{.}}\end{array}$ A súrlódási erő a megcsúszás pillanatában $S={\mu }_{2}N$, a tehetetlenségi nyomatékok pedig ${\Theta }_1=\left(1/2\right)m_1{R}^2\mathrm{,}{\Theta }_2=4m_2{R}^2$. Így a (4), (5) és (6) egyenletrendszerből $\beta$ kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta =\frac{2m_{2}g}{R\left[\left(3/2\right)m_1+5m_2\right]}\mathrm{,}}\end{array}$ az (5) egyenletbe visszaírva megkapjuk a gördüléshez szükséges minimális ${\mu }_2$ értéket: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\mu }_{2\text{min}}=\frac{4m_2\left(m_1+m_2\right)}{3m_1^2+13m_2{m}_1+2m_2^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ennél nagyobb ${\mu }_2$ esetén a mozgás során a henger nem csúszik meg.    Lakatos Róbert (Kalocsa, I. István Gimn., III. o. t.)