Feladat:	1687. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antal Tamás ,  Jeney Tamás ,  Kuna János
Füzet:	1981/október, 90 - 91. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Csúszó súrlódás, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/január: 1687. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha a test elmozdulása $x\leqq l_0/2$, akkor a test rátámaszkodik a rugóra, és így a testre a következő erők hatnak: a lejtővel párhuzamosan a súlyerő $mg\text{sin}\alpha$ nagyságú komponense, a $\mu mg\text{cos}\alpha$ nagyságú csúszási súrlódási erő és a $D\left[\left(l_o/2\right)-x\right]$ nagyságú rugóerő. Feltesszük, hogy a test felfelé mozog, így a súrlódási erő lefelé hat. Annak feltétele, hogy a test felfelé meginduljon az, hogy az elengedés pillanatában a testre ható erők eredője a lejtővel párhuzamosan felfelé mutasson: $\begin{array}{c}{\displaystyle D\left(l_0/2\right)>mg\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A test mozgásegyenlete ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle ma=\left[\left(l_0/2\right)-x\right]-mg\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Ez egy harmonikus rezgőmozgás egyenlete, amelynek nyugalmi helyzete (ahol $a=0$): $\begin{array}{c}{\displaystyle x_0=\left(l_0/2\right)-\left(mg/D\right)\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Mivel a mozgás a rezgés szélső helyzetéből indul, $x_0$ egyúttal a rezgés amplitúdója. Két eset lehetséges: a test legmagasabb helyzetében is összenyomja a rugót ($a$) vagy a mozgás közben a rugó teljesen kinyúlik és a test lerepül róla ($b$). $a)$ Ha a test végig a rugón marad, a legmagasabb helyzet eléréséig egy fél rezgést végez, teljes elmozdulása $2x_0$, maximális emelkedési magassága $\begin{array}{c}{\displaystyle h_{\text{max}}=2x_0\text{sin}\alpha =\left[l_0-\left(2mg/D\right)\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)\right]\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (4) Ezt a helyzetet a rezgésidő fele alatt éri el a test, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\pi \sqrt[]{m/D}\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Ez az eset akkor valósul meg, ha $2x_0\leqq l_0/2$, ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle l_0/4\leqq \left(mg/D\right)\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (6) $b)$ Ha az ($a$) feltétel nem teljesül, akkor a test a mozgás elején a rugóval együtt harmonikus rezgőmozgást végez, majd a rugótól elszakadva a lejtőn csúszva egyenletesen lassul. Számítsuk ki, hogy mikor hagyja el a test a rugót és mekkora ebben a pillanatban a sebessége! Az elengedéstől számítva a test elmozdulása az idő függvényében egy $x_0$ középpontú harmonikus rezgőmozgás, amelynek amplitúdója $x_0$ és kiindulópontja az egyik szélső helyzet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=-x_0\text{cos}\omega t+x_0\mathrm{,}}\end{array}$ (7) ahol $\omega =\sqrt[]{D/m}$. A rugó elhagyásának pillanatában az elmozdulás $x\left(t_1\right)=l_0/2$, ahonnan $x_0$ és $\omega$ értékét behelyettesítve; $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1=\sqrt[]{\frac{m}{D}}\text{arc}\text{cos}\frac{mg\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)}{mg\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)-\left(l_{0}D/2\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (8) A test sebességét legegyszerűbben a munkatételből határozhatjuk meg. A kezdeti rugóenergia helyzeti és mozgási energiává alakul, illetve súrlódási munkára fordítódik: (9) innen (10) Ettől a ponttól kezdve a test $g\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)$ állandó gyorsulással lassul a legmagasabb helyzetig, így a rugó elhagyásától a megállásig $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2=\frac{v_0}{g\left(\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha \right)}}\end{array}$ idő telik el; az elindulástól eltelt idő $t_1+t_2$. A maximális magasság elérésekor a test megáll, a kezdeti rugóenergia helyzeti energiává és súrlódási munkává alakul: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1/2\right)D{\left(l_0/2\right)}^2=mg{h}_{\text{max}}+\mu mg\text{cos}\alpha \cdot \frac{h_{\text{max}}}{\text{sin}\alpha }\mathrm{,}}\end{array}$ (11) ahonnan az emelkedési magasság: $\begin{array}{c}{\displaystyle h_{\text{max}}=\frac{D\left(l_0^2/8\right)}{mg\left(1+\mu \text{ctg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>}\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (12)    Kuna János (Törökszentmiklós, Bercsényi M. Gimn., III. o. t.)