Feladat:	1686. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sczigel Gábor
Füzet:	1981/szeptember, 43. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Függőleges hajítás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/január: 1686. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Jelölje $x_1\left(t\text{'}\right)$ és $x_2\left(t\text{'}\right)$ az $m_1$ ill. az $m_2$ tömegű test helyzetét a kötél elszakadása és az együttes földetérés közötti tetszőleges $t\text{'}$ időpontban! Ekkor nyilván ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle x_1\left(t\text{'}\right)}& {\displaystyle =\left(h-x_0\right)-v_{0}t\text{'}-\left(g/2\right)t{\text{'}}^2\mathrm{,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle x_2\left(t\text{'}\right)}& {\displaystyle =x_0+v_{0}t\text{'}-\left(g/2\right)t{\text{'}}^2\mathrm{,}}\hfill & \text{(2)}\end{array}}$ ahol $x_0=\left(a/2\right)t^2$ az $m_2$ tömegű test helyzete, $v_0=at$ mindkét test sebességének abszolút értéke a kötél elszakadásakor, $a=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g$ pedig a rendszer gyorsulása ép kötél esetén.   Az együttes földetérés miatt $x_l\left(\tau \right)=x_2\left(\tau \right)=0$, így pl. (2) felhasználásával ‐ behelyettesítve $x_0$ és $v_0$ fenti kifejezéseit ‐ kapjuk $\begin{array}{c}{\displaystyle x_2\left(\tau \right)=\left(a/2\right)t^2+at\tau -\left(g/2\right){\tau }^2=0.}\end{array}$ (3) A kívánt tömegarányt a (3) egyenletből $t=\tau \ne 0$ helyettesítéssel számíthatjuk ki, ekkor az $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g=\frac{g}{3}}\end{array}$ feltételt kapjuk, amiből $m_l=2m_2$. A megoldás során nem használtuk ki, hogy $x_1\left(\tau \right)=0$, így a fenti tömegarány független attól, hogy a két test egyszerre ér-e földet vagy sem. Az együttes földetérés feltétele: $h=g{\tau }^2$, amit pl. (1)-ből kaphatunk meg, ha elvégezzük az $x_1\left(\tau \right)=0$, $t\text{'}=\tau =t$, $v_0=at$, ${\alpha }_0=\left(a/2\right)t^2$ és a $a=g/3$ helyettesítéseket.    Sczigel Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., II. o. t.)