Kezdőlap


Feladat:	1684. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lugosi Erzsébet
Füzet:	1981/szeptember, 40 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kinematika, Egyenletes körmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/január: 1684. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rögzítsük a koordináta‐rendszerünket a $v = 36 km/h$ sebességgel haladó kerékpárhoz. Jelöljük $P$ -vel azt a pontot, ahol a nyílvessző döfi a kerék síkját (1. ábra).

1. ábra

A nyílvessző áthaladása során a

P

pont a földhöz képest nyugalomban van, tehát koordináta‐rendszerünkben

v

sebességgel mozog. Feltesszük, hogy a kilövés helye nincs a kerék síkjában, hiszen ekkor a nyílvessző nem tudna áthaladni a küllők közt. Ha a nyílvessző sebessége

u

, akkor az áthaladás ideje

T = 10 cm/u

függetlenül attól, hogy milyen irányból lőtték ki, ha a kerék szélessége elhanyagolható a nyílvessző hosszához képest. Azt keressük, hogy mekkora a minimális

u

. Ez ugyanaz, mintha azt keresnénk, mekkora a minimális

T

. A feladatot a következőképpen fogalmazhatjuk meg. Egy álló középpontú,

v

;kerületi sebességgel forgó küllős kerék belsejében kell egy

v

sebességű

P

pontnak mozognia a lehető leghosszabb ideig úgy, hogy ne messe sem a küllőket, sem a kerék kerületét. A kerék felső felében nem érdemes a megoldást keresnünk, mert a küllők és a

P

pont szembe mozognak, így hamarabb találkoznak, mint hasonló helyzetben a kerék alsó felén, ahol egy irányban mozognak. Az egyenesnek, amelyen a

P

pont mozog: a kerék középpontjától mért távolságát jelöljük

a

-val. Vizsgáljuk most meg, hogy a

P

pont előtt levő küllő és az egyenes metszéspontja hogyan mozog az egyenesen:

\begin{matrix} y_{1} = a tg α = a tg ω t . \end{matrix}

Ugyanígy felírhatjuk az egyenletet arra a küllőre is, amely

10^{\circ}

-kal hátrább van:

\begin{matrix} y_{2} = a tg [ω t - (π / 18)] . \end{matrix}

Egyszerűen felírhatjuk a

P

pont mozgását is:

\begin{matrix} y_{3} = v t + k = R ω t + k, \end{matrix}

ahol

k

jelenti azt, hogy a nulladik időpillanatban hol helyezkedik el a

P

pont. Figyelembe kell vennünk a kerék kerülete szabta határt is. A Pitagorasz‐tételt használva:

\begin{matrix} y^{2} ≦ R^{2} - a^{2} . \end{matrix}

Az alatt a

T

idő alatt, amíg a nyílvessző áthalad a keréken, a következő feltételeknek kell teljesülniük:

\begin{matrix} y_{2} ≦ y_{3} ≦ y_{1} és | y_{i} | ≦ \sqrt[]{R^{2} - a^{2}} i = 1,2,3. \end{matrix}

y_{i}

függvényeket

(i = 1,2,3)

ábrázolva a következőképpen fogalmazhatjuk meg ismét a feladatot. Milyen

a

k

paraméterek mellett lesz az

y_{1}

és

y_{2}

görbékkel, valamint az

y = \pm \sqrt[]{R^{2} - a^{2}}

egyenesekkel határolt területnek a leghosszabb metszete az

y_{3}

egyenessel. Ha

a

kicsi, akkor a tartomány erősen görbül, ezért csak rövid

v = R, ω

meredekségű szakasz húzható bele (1. a 2. ábrát).

2. ábra

Ha pedig

a

nagy, akkor a tartományba eső

v

meredekségű szakasz hosszát az egymástól egyre kisebb távolságra levő határoló egyenesek határozzák meg, a tangens görbét még csak érintenie sem kell (1. a 3. ábrát).

3. ábra

Leghosszabb tehát akkor lesz a szakasz, ha úgy húzható meg, hogy éppen mindkét tangens görbét érintse.
Jelöljük ennek az egyenletét

y_{3}^{*}

-gal. A

t

tengelyt az

y_{2}

görbe a

Δ t = \frac{π / 18}{ω}

pontban metszi. A szimmetria miatt az

y_{3}^{*}

egyenes az időtengelyt

Δ t / 2

-ben, azaz

π / (36 ω)

-ban metszi, azaz

\begin{matrix} 0 = R ω (Δ t / 2) + k . Ebből k = \frac{R π}{36}, tehát y_{3} = R (ω t - \frac{π}{36}) . \end{matrix}

Deriváljuk

y_{1}

-et

t

szerint:

y_{1} = \frac{a ω}{cos^{2} ω t}

Az érintési pontban az

y_{1}

görbe meredeksége is

R ω

lesz. Ezért ha az érintési ponthoz tartozó időt

t^{*}

-gal jelöljük:

\begin{matrix} \frac{a ω}{cos^{2} ω t^{*}} = R ω . \end{matrix}

(1)

Az érintés miatt a

t^{*}

időpontban

y_{1} = y_{3}^{*}

, tehát

\begin{matrix} a tg ω t^{*} = R (ω t^{*} - \frac{π}{36}) . \end{matrix}

Az (1) és (2) egyenletekből

a

-t kiküszöbölve:

\begin{matrix} R cos^{2} ω t^{*} tg ω t^{*} = R [ω t^{*} - (π / 36)], \end{matrix}

átalakítva

\begin{matrix} 2 cos ω t^{*} sin ω t^{*} = 2 [ω t^{*} - (π / 36)], \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} sin 2 ω t^{*} - 2 ω t^{*} + (π / 18) = 0. \end{matrix}

Ezt az egyenletet pl. próbálgatással megoldva azt kapjuk, hogy

t^{*} = 0,0155 s

(1) felhasználásával

a = 0,22674

. A görbéket felrajzolva a 4. ábrán láthatjuk, hogy az optimális szakasz az

y = \pm \sqrt[]{R^{2} - a^{2}}

egyeneseket eléri, tehát a

P

pont által megtett út

s = 2 \sqrt[]{R^{2} - a^{2}} = 0,392 m

4. ábra

Felhasználva, hogy

T = \frac{s}{v} = \frac{0,392 m}{10 m/s} = 0,0392 s

u = 10 cm / T = 2,55 m/s

.
A 4. ábráról azt is leolvashatjuk, hogy

P

pont közvetlenül a kerék kerületét érintve indul, ezután a mögötte levő küllő utoléri, megérinti, majd lemarad, ezután a

P

pont éri utol az előtte levő küllőt, megérinti, majd lemarad mögötte, végül a kerék kerületét ismét elérve fejezi be a mozgást.
Tehát a nyílvessző minimális sebessége

2,55 m/s

és a kerék tengelyétől

a = 22,6 cm

-rel lejjebb kell belőni közvetlenül a kerék kerülete mellett, és mindegy, hogy milyen irányból lőjük be. Lugosi Erzsébet

Megjegyzés. A hibás dolgozatok oka többnyire az volt, hogy a megoldók nem vették figyelembe, hogy a nyílvessző döféspontja (

P

pont) mozog a kerékhez képest, azaz az 510. számú gyakorlatot oldották meg.