Feladat:	1677. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szövényi-Lux Mátyás
Füzet:	1981/szeptember, 37 - 38. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Csúszó súrlódás, Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/december: 1677. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A kockára kötött fonálban az erőt növelve elérhetjük, hogy a kocka megindul.   1. ábra   A megindulást megelőző pillanatban a kocka még nyugalomban van, az egyensúly egyenletei a következők (jelölések az 1. ábra szerint): ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 0=}& {\displaystyle mg-N-F\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0=}& {\displaystyle F\text{cos}\alpha -S\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0=}& {\displaystyle S\cdot \left(a/2\right)-N\left(a/2-x\right)+F\left(a/2\right)\text{cos}\alpha -F\left(a/2\right)\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahol az első két egyenlet az erők egyensúlyát fejezi ki, a harmadik a súlypontra vonatkoztatott forgatónyomatékét. $x$ a talaj nyomóereje eredőjének támadási pontjának, és a kocka $A$ élének távolsága. Negyedik egyenletünk szerint az $F$ erő nagyságát tovább növelve a test megmozdul, tegyük fel, hogy megcsúszik: $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\mu N\mathrm{,}}\end{array}$ ha ui. nem csúszik, akkor billen, azt $x$ nagyságából tudhatjuk meg. Négy ismeretlenünk van: $F$, $N$, $S$ és $\mu$, ha $\alpha$-t adottnak vesszük. $x$-et kifejezve kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\left(a/2\right)\left(\mu \text{tg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>- 2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>μ</mi></math>+1}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Feladatunk szerint ha $\alpha >{30}^{\circ }$, a kocka csúszik, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\le x\le \alpha \mathrm{,}}\end{array}$ míg ha $\alpha <{30}^{\circ }$, a kocka felborul: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\le 0;\text{vagy}x\ge a\mathrm{.}}\end{array}$ Ez úgy képzelhető el, ha $\alpha ={30}^{\circ }$-ra, $x$ értékére, az (1) egyenlet nullát vagy $a$-t ad. Az utóbbi csak negatív súrlódási együttható értékeknél adódna, így elképzelhetetlen, az előbbiből pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu =\frac{1}{2-\text{tg<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>}}=\frac{1}{2-\left(\sqrt[]{3}/2\right)}\cong 0\mathrm{,}7}\end{array}$ adódik, azaz ha $\mu =0\mathrm{,}7$, a feladat szerinti dolog megtörténhet: $\alpha <{30}^{\circ }$-ra a kocka a talajhoz tapad és az $A$ pont körül fordulva felborul, míg $\alpha {30}^{\circ }$-ra a kocka csúszni fog az $F$ erő hatására.   Megjegyzés. Annak feltétele, hogy az $A$ pont körül billenjen fel a kocka (határesetben $x=0$): $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu =\frac{1}{2-\text{tg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>}}\mathrm{,}}\end{array}$ míg annak, hogy a $B$ pont körül $\left(x=a\right)$: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu =-\frac{1}{2-\text{tg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>}}\mathrm{,}}\end{array}$ ami éppen az előző képlet mínusz egyszerese.     2. ábra   Az $\frac{1}{2-\text{tg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>}}$ értékeit ábrázolva $\alpha$ függvényében (2. ábra bal oldalán) megállapíthatjuk, hagy a függvény értéke nemnegatív a $\left(63\mathrm{,}{43}^{\circ };{90}^{\circ }\right)$ intervallumot kivéve, azaz ha $\alpha <63\mathrm{,}{43}^{\circ }$, mindig az $A$ pont körül fordul el a kocka, míg ha a példa szövegében $\alpha >63\mathrm{,}{43}^{\circ }$ szerepelne, a kocka a $B$ pont körül fordulna el. A 2. ábráról leolvashatóak még a következők: ha a feladat szövegében megadott $\alpha$ értéke nullánál éppen nagyobb lenne, a súrlódási együtthatóra $0\mathrm{,}5$-nél valamivel nagyobb érték adódna. $\alpha$-t növelve $\mu$ is nő, majd $63\mathrm{,}{43}^{\circ }$-nál $\mu$ lehet bármekkora, a kocka mindenképpen csúszni fog. Ennél nagyobb $\alpha$ értékekre a $B$ pont körül fog elfordulni a kocka, a feladat azonban szószerint nem teljesíthető, mert kisebb szögeknél csúszik, nagyobbaknál borul a kocka. Ez a helyzet $\alpha ={90}^{\circ }$-nál változik, mivel $\alpha >{90}^{\circ }$-ra a megoldás elején felírt egyenletek közül az $S=\mu N$ helyett $S=-\mu N$ írandó, (1) helyett pedig az $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\left(a/2\right)\left(-\mu \text{tg<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>+1}\right)}\end{array}$ összefüggés adódik. A borulás feltételei (a feladat szövegének értelmében):