Kezdőlap


Feladat:	1674. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Gábor , Kaptás Dénes
Füzet:	1981/április, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Nehézségi erő, Egyéb erőtörvény, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/november: 1674. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $- Q$ töltésre a nehézségi erő és a gyűrű elektrosztatikus tere hat. Vegyük fel úgy a koordináta-rendszert, hogy a gyűrű az $x - y$ síkban legyen, tengelye pedig a $z$ tengely.

Számítsuk ki az elektrosztatikus erőt. Ehhez gondolatban vágjuk

Δ l

nagyságú darabokra a körgyűrűt. Minden darabon ‐ egyenletes töltéseloszlást feltételezve ‐

Δ l Q / 2 R π

töltés lesz (

R

a gyűrű sugara). Először két szemben levő gyűrűdarab által kifejtett erő összegét határozzuk meg. A vonzóerő nagysága a gyűrű bármely pontjára ugyanakkora, tehát a vízszintes komponensek kiejtik egymást, a függőlegesek összeadódnak, és így a vonzóerő (az erőt fölfelé tekintjük pozitívnak):

\begin{matrix} - 2 \frac{k Q^{2} Δ l}{2 R π} \cdot \frac{1}{R^{2} + z^{2}} cos α, \end{matrix}

ahol

k = 9 \cdot 10^{9} N m^{2} / C^{2}

cos α = z / {(R^{2} + z^{2})}^{1 / 2}

. Mivel

\frac{2 R π}{Δ l} \cdot \frac{1}{2}

darab ilyen pár van, a

z

pontban levő töltésre ható teljes vonzóerő

\begin{matrix} F_{r} = - 2 k \frac{Q^{2} Δ l}{2 π R} \cdot \frac{1}{R^{2} + z^{2}} \cdot \frac{z}{{(R^{2} + z^{2})}^{1 / 2}} \cdot \frac{2 R π}{Δ l} \cdot \frac{1}{2} = - k \frac{Q^{2} z}{{(R^{2} + z^{2})}^{3 / 2}}; \end{matrix}

(1)

m

tömegű,

- Q

töltésű testünk mozgásegyenlete tehát

\begin{matrix} m a = - m g + F_{1} . \end{matrix}

(2)

Az egyenlet megoldása tetszőleges

z

esetén igen nehéz. Ha viszont

z ≪ R

, akkor a

(2)

egyenlet

\begin{matrix} m a = - m g - k \frac{Q^{2} z}{R^{3}} \end{matrix}

(3)

alakúra egyszerűsödik. Mint azt már több megoldásban megmutattuk, a

(3)

egyenlet a harmonikus rezgőmozgás alapegyenletére vezethető vissza, ha bevezetjük

z_{0}

-t, a következőképpen

\begin{matrix} m g = - k \frac{Q^{2} z_{0}}{R^{3}} . \end{matrix}

Beírva

z_{0}

értéket

(3)

-ba, az

\begin{matrix} m a = - k \frac{Q^{2} (z - z_{0})}{R^{3}} \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Az

m

tömegű test tehát a

z_{0}

pont körül harmonikus rezgőmozgást végez

\begin{matrix} T = 2 π | \frac{\bar{m R^{3}}}{k Q^{2}} \end{matrix}

rezgésidővel ha a

z ≪ R

feltétel teljesül.
Meg kell tehát vizsgálnunk, hogy a

(2)

egyenlet mikor helyettesíthető a

(3)

egyenlettel. Jogos feltenni, hogy a

(3)

helyesen írja le a mozgást, ha pl.

\begin{matrix} [\frac{k Q^{2} z}{{(R^{2} + z^{2})}^{3 / 2}} - \frac{k Q^{2} z}{R^{3}}] : \frac{k Q^{2} z}{R^{3}} < 0, 001. \end{matrix}

(4)

Numerikusan könnyű megmutatni, hogy

(4)

akkor teljesül, ha

z | < 0,02 R

. Tehát a kezdő pillanatban

z \leq 0, 02 R

a rezgőmozgás feltétele. Mivel a test

z_{0}

körül végzi rezgéseit, így

z_{0}

-ra is kell, hogy teljesüljön

(4)

, azaz

\begin{matrix} \frac{m g R^{2}}{k Q^{2}} = | z_{0} | \leq 0, 02 R . \end{matrix}

Ez viszont feltételt ad a töltés és tömeg viszonyára is:

\begin{matrix} \frac{m}{Q^{2}} \leq \frac{0, 02 k}{g R^{2}} . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy a

(4)

feltétel nem teljesül. Ekkor két esetet különböztetünk meg: a súlyerő az

F_{2}

Coulomb erő maximális értékénél a) kisebb, b) nagyobb. Az

(1)

függvény deriváltját kiszámítva könnyen adódik, hogy a függvénynek a

z = - R / \sqrt[]{2}

helyen van maximuma, ott a függvény értéke

\begin{matrix} \frac{Q^{2} k}{R^{2}} \cdot 0, 38; \end{matrix}

Tehát, ha a

0, 38 Q^{2} k / R^{2} \geq m g

egyenlőtlenség teljesül, akkor a test még nem esik le, ha nem térítjük ki túlságosan, és rezgőmozgást végez. Ha

m > 0, 38 k Q^{2} / (g R^{2})

, akkor a test leesik.

Kaptás Dénes (Nagykőrös, Arany J. Gimn., IV. o. t.) és
Horváth Gábor (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzés. Több megoldó csak azt mutatta meg, hogy a

(2)

egyenlet a

(3)

-ra egyszerűsödik

z ≪ R

esetében; az ilyen megoldások nem teljes értékűek. Azt kellett volna megmutatni, hogy a feladatban szereplő paraméterek milyen értékénél valósulhat meg a

z ≪ R

feltétel.