Kezdőlap


Feladat:	1668. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frei Zsolt , Horváth Zsolt , Megyesi Gábor , Porkoláb Zsolt
Füzet:	1981/március, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb egyenletesen változó mozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/november: 1668. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A mozgás folyamán lesz egy olyan időpillanat, amikor a két autó sebessége egyenlő (feltételezve, hogy még nem ütköztek össze). Ha ekkor a teherautó a személyautó előtt van, az ütközés később sem következik be, mivel ezután a teherautónak mindig nagyobb a sebessége, mint a személyautóé.
Vegyük azt a helyzetet, amikor a két autó sebessége egyenlő, és a köztük levő távolság 0. Ez az ütközés szélső helyzete. Számoljuk ki, hogy ehhez milyen $t_{1}$ tartozik.
A sebességek egyenlőségét felírva

\begin{matrix} v_{1} - a_{1} (t_{1} + t_{2}) = v_{2} + a_{2} t_{2}, \end{matrix}

ahol

t_{1} + t_{2}

az "ütközésig'' eltelt teljes idő.
A személyautó ez alatt az idő alatt

s_{0} = 80

m-rel hosszabb utat tesz meg, azaz

\begin{matrix} v_{1} (t_{1} + t_{2}) - (a_{1} / 2) {(t_{1} + t_{2})}^{2} = s_{0} + v_{2} t_{1} + v_{2} t_{2} + (a_{2} / 2) t_{2}^{2} . \end{matrix}

A két egyenletből

t_{1} = 0, 69

s adódik.
A teherautó vezetőjének (a személyautó fékezésének kezdetétől számítva)

0, 69

s-on belül kell gyorsítania, hogy a balesetet elkerülje.

Horváth Zsolt (Szentendre, Ferences Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Rajzoljuk fel a mozgás út‐idő grafikonját (1. ábra).

1. ábra

A teherautó

t_{1}

-ig egyenletes sebességgel megy.

t_{1}

után a két autó helyét az

\begin{matrix} s_{1} = v_{1} t - (a_{1} / 2) t^{2}; s_{2} = s_{0} + v_{2} t + (a_{2} / 2) {(t - t_{1})}^{2} \end{matrix}

egyenletek adják meg, ahol

t = t_{1} + t_{2}

. Az egyenletek két parabolát határoznak meg (1. ábra). Ha a két parabola metszi egymást, az autók összeütköznek. Ha érintik egymást, akkor ott az egymástól való távolságuk nulla, és az autók sebessége egyenlő. Ez éppen az első megoldásban vizsgált eset. A két parabola akkor érinti egymást, amikor a

t

-re adódó másodfokú egyenlet diszkriminánsa 0. Az egyenlet:

\begin{matrix} v_{1} t - (a_{1} / 2) t^{2} = s_{0} + v_{2} t + (a_{2} / 2) {(t - t_{1})}^{2}, \end{matrix}

a diszkrimináns;

\begin{matrix} {[(v_{2} - v_{1}) - a_{2} t_{1}]}^{2} - 2 (a_{1} + a_{2}) [(a_{2} / 2) t_{1}^{2} + s_{0}] = 0. \end{matrix}

Ebből

t_{1}

-re a fizikailag értelmes gyök:

t_{1} = 0, 69 s

. Ennyi ideje van a teherautónak a gyorsítás megkezdésére.

Frei Zoltán (Pécs, Nagy Lajos Gimn, II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A sebesség‐idő grafikon alapján is meg lehet oldani a feladatot (2. ábra).

2. ábra

A B C D

négyszög területe 80 m. Az egyenletek az első megoldásban szereplőkkel megegyeznek.

Porkoláb Zsolt (Miskolc, Földes F. Gimn. II. o. t.)

2. A megoldás a teherautóhoz rögzített rendszerben igen egyszerű.

Megyesi Gábor (Szeged, Juhász Gy. Tanárképző Főisk., I. sz. Gyak. Isk., 8. o. t.)