Feladat:	1666. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Budai Patroklosz Zsolt ,  Czakó Ferenc ,  Deák Tibor ,  Hudi István ,  Kaptás Dénes ,  Lóczy Géza ,  Oszlányi Gábor ,  Pöltl János Tamás ,  Sárközi Imre ,  Seress Attila ,  Szállási Zoltán
Füzet:	1981/március, 136 - 139. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Forgási energia, Merev testek ütközése, Gördülés vízszintes felületen, Hajítások, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/október: 1666. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először általánosan vizsgáljuk meg, hogy hogyan történik egy forgó golyó ütközése, majd a levezetett összefüggések birtokában tárgyaljuk a feladatban szereplő jelenséget. A rövidség kedvéért már itt feltételezzük, hogy a) az ütközésnél a felületre merőleges sebességösszetevő a felére csökken, b) ütközés előtt $\omega r>v_t$, tehát az ütközés közben fellépő súrlódási erő a golyó forgását lassítja, érintő irányú sebességét növeli. Az ütközés előtti állapotot az 1. ábrán mutatjuk be. Két eset lehetséges: 1. A golyó az ütközés teljes ideje alatt köszörül. Ekkor az ütközés egész ideje alatt hat a csúszási súrlódási erő, $F_t=\mu F_n$. Feltéve, hogy az ütközés $\Delta t$ ideig tart, a változó $F_t$, és $F_n$ erőt idő szerinti átlagával helyettesítve a következő összefüggéseket írhatjuk föl (az ütközés utáni adatokat $\text{'}$-vel jelöltük):   1. ábra   ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\overline{F}}_n\Delta t=m\left(v{\text{'}}_n-v_n\right)=\left(3/2\right)m{v}_n\mathrm{,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle {\overline{F}}_t\Delta t=\mu {\overline{F}}_n\Delta t=m\left(v{\text{'}}_t-v_t\right)\mathrm{,}}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle {\overline{F}}_t\Delta t\cdot r=\left(2/5\right)m{r}^2\left(\omega -\omega \text{'}\right)\mathrm{.}}\hfill & \text{(3)}\end{array}}$ (Itt $\overline{F}$ idő szerinti átlagolást jelöl. Vegyük észre, hogy erő csak impulzusátadásban szerepel, így mindenhol idő szerint kell átlagolni. Ha valahol munkát kellene számítanunk, ott hely szerinti átlagra lenne szükségünk, ami ettől különböző érték.) A három egyenletből az ütközés utáni sebességek kifejezhetők: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle v{\text{'}}_n=-v_n/\mathrm{2,}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle v{\text{'}}_t=v_t+\left(3/2\right)\mu v_n\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \omega \text{'}=\omega -\left(15/4\right)\mu \left(v_n/r\right)\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>6</mn>)}\end{array}}$ Ez az eset akkor áll fenn, ha a golyó végig köszörül, és így az ütközés végén is $\omega \text{'}r>v{\text{'}}_t$. (5) és (6) behelyettesítésével a $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu \le \frac{r\omega -v_t}{\left(21/4\right)v_n}}\end{array}$ (7) feltétel adódik. Ha a (7) egyenlőtlenség nem teljesül: 2. A köszörülés az ütközés vége előtt, $\Delta \tau$ idő alatt befejeződik: Jelöljük *-gal a $\Delta \tau$ időtartamra vett átlagot. A következő összefüggések állnak fenn az impulzus és impulzusmomentum átadásra és a köszörülés megszűnésére: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle F_t^{*}\Delta \tau =m\left(v{\text{'}}_t-v_t\right)\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>8</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle F_t^{*}\Delta \tau \cdot r=\left(2/5\right)m{r}^2\left(\omega -\omega \text{'}\right)\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>9</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \omega \text{'}r=v{\text{'}}_t\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>10</mn>)}\end{array}}$ Az ütközés utáni sebességek ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle v{\text{'}}_n=-v_n/\mathrm{2,}}\hfill & \text{(<mn>11</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle v{\text{'}}_t=\left(2/7\right)r\omega +\left(5/7\right)v_t\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>12</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \omega \text{'}=(5/7v_t/r+\left(2/7\right)\omega \mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>13</mn>)}\end{array}}$ a) Térjünk most rá a feladat konkrét helyzetének elemzésére ! A 2. ábrán azt a pillanatot ábrázoltuk, amikor a golyó az akadálynak ütközik.   2. ábra   $\text{sin}\phi =5/7\mathrm{,}5$, így $\phi =41\mathrm{,}{8}^{\circ }$. Az ütközési pontba húzott érintővel párhuzamos és rá merőleges sebesség komponensek: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle v_t=v\text{sin}\phi =1\mathrm{,}33\text{ m/s}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle v_n=v\text{cos}\phi =1\mathrm{,}49\text{ m/s}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ a szögsebesség $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =v/R=40{\text{ s}}^{-1}\mathrm{.}}\end{array}$ (7) alapján ahhoz, hogy a golyó az ütközés egész ideje alatt csússzon, a $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu \le \frac{\left(0\mathrm{,}05\cdot 40-1\mathrm{,}33\right)\cdot 4}{41\cdot 1\mathrm{,}49}=0\mathrm{,}0852}\end{array}$ összefüggésnek kell teljesülnie. Mivel ez nem áll fenn, az ütközés utáni sebességek a (11)‐(12) összefüggésekből számíthatók: $\begin{array}{c}{\displaystyle v{\text{'}}_n=-0\mathrm{,}75\text{ m/s};v{\text{'}}_t=1\mathrm{,}52\text{ m/s};\omega \text{'}=30\mathrm{,}5\text{ 1/s}\mathrm{.}}\end{array}$ b) Az ütközést ferde hajítás követi, amelynek vízszintes és függőleges kezdősebessége ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle v_x=v{\text{'}}_t\text{sin}\phi -|v{\text{'}}_n|\text{cos}\phi =0\mathrm{,}46\text{ m/s}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle v_y=v{\text{'}}_t\text{cos}\phi +|v{\text{'}}_n|\text{sin}\phi =1\mathrm{,}63\text{ m/s}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A golyó középpontja a hajítás során $y\text{'}=0\mathrm{,}025$ m-rel kerül feljebb, így a hajítás $t_1$ ideje a $\begin{array}{c}{\displaystyle v_y{t}_1-\left(g/2\right)t_1^2=y\text{'}}\end{array}$ egyenlet nagyobbik gyökeként adódik. A számadatokat behelyettesítve $t_1=0\mathrm{,}32$ s adódik. Az ütközés pillanatában a golyó középpontja vízszintesen $a=\left(R+r\right)\text{cos}\phi -r=0\mathrm{,}031$ m távolságra van az akadály alsó élétől. A hajítás után a golyó távolsága az akadály élétől így $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=v_x{t}_1-a=0\mathrm{,}115\text{ m}\mathrm{.}}\end{array}$ Az akadály tetejét $\begin{array}{c}{\displaystyle v_x^{\left(1\right)}=v_x=0\mathrm{,}46\text{ m/s}\mathrm{,}}\end{array}$ ill. $\begin{array}{c}{\displaystyle v_y^{\left(1\right)}=v_y-g{t}_1=-1\mathrm{,}48\text{ m/s}}\end{array}$ sebességgel éri el a golyó. c) Az akadály tetejére érve az ütközésre fennáll a (7) feltétel $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu \le \frac{\left(0\mathrm{,}05\cdot 30\mathrm{,}5-0\mathrm{,}46\right)\cdot 4}{21\cdot 1\mathrm{,}48}=0\mathrm{,}\mathrm{137,}}\end{array}$ így a golyó az ütközés egész ideje alatt csúszik. a (4)‐(6) összefüggések határozzák meg az ütközés utáni sebességeket. $\begin{array}{c}{\displaystyle v_y^{\left(2\right)}=-0\mathrm{,}74\text{ m/s}\mathrm{,}{v}_x^{\left(2\right)}=0\mathrm{,}68\text{ m/s}\mathrm{,}{\omega }^{\left(2\right)}=19\mathrm{,}4{\text{ s}}^{-1}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezekkel a kezdősebességekkel ferde hajítás történik, amelynek időtartama $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2=2v_y^{\left(2\right)}/g=0\mathrm{,}15\text{ s}\mathrm{,}}\end{array}$ a vízszintesen megtett út $\begin{array}{c}{\displaystyle x_2=v_x^{\left(2\right)}{t}_2=0\mathrm{,}10\text{ m}\mathrm{.}}\end{array}$ d) Ezután újabb ütközés történik az akadály vízszintes lapján. (7) nem teljesül: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu >\frac{\left(0\mathrm{,}05\cdot 19\mathrm{,}4-0\mathrm{,}74\right)\cdot 4}{21\cdot 0\mathrm{,}68}=0\mathrm{,}\mathrm{065,}}\end{array}$ így a csúszás az ütközés közben áll le. Az ütközés utáni sebességek (11)‐(13)-ból $\begin{array}{c}{\displaystyle v_y^{\left(3\right)}=-0\mathrm{,}37\text{ m/s}\mathrm{,}{v}_x^{\left(3\right)}=0\mathrm{,}76\text{ m/s}\mathrm{,}{\omega }^{\left(3\right)}=15\mathrm{,}3{\text{ s}}^{-1}\mathrm{.}}\end{array}$ e) A mozgás további szakaszán $v_x=Ra$, így a golyó nem csúszik meg az ütközések során, forgása nem játszik szerepet. A golyó pattog, az első pattanás ideje $t_3=2v_y^{\left(3\right)}/g$. Mivel a függőleges sebesség minden ütközéskor a felére csökken, a pattogás megszűnéséig $\begin{array}{c}{\displaystyle T\text{'}=\sum _{i=3}^{\infty }{t}_l=\frac{2v_y^{\left(3\right)}}{g}\sum _{j=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^f=2t_3=0\mathrm{,}15\text{ s}}\end{array}$ idő telik el. Ezalatt a golyó vízszintesen $\begin{array}{c}{\displaystyle x\text{'}=v_x^{\left(3\right)}T\text{'}=0\mathrm{,}115\text{ m}}\end{array}$ utat tesz meg. A pattogás közben $v_x$ nem változik, így a pattogás megszűnése után a golyó $\begin{array}{c}{\displaystyle v_x^{\left(3\right)}=0\mathrm{,}76\text{ m/s}}\end{array}$ sebességgel gördül. Ez az első ütközés pillanatától számítva $\begin{array}{c}{\displaystyle T=t_1+t_2+T\text{'}=0\mathrm{,}62\text{ s}}\end{array}$ idő múlva, az akadály alsó élétől $\begin{array}{c}{\displaystyle -X=x_1+x_2+X\text{'}=0\mathrm{,}33\text{ m}}\end{array}$ távolságra következik be.    Kaptás Dénes (Nagykőrös, Arany J. Gimn., IV. o. t.)  dolgozata alapján