Kezdőlap


Feladat:	1664. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alberti Gábor , Bocsák András , Fedor Péter , Guba Kornél , Kiss Péter
Füzet:	1981/március, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/október: 1664. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sárcsepp leválása kétféleképpen képzelhető el. Az a) eset (1. ábra) az, amikor a mozgásirány felé eső oldalon indul el a csepp, míg a b) esetben (2. ábra) a sárcsepp az ellenkező oldalon válik le.
a) A csepp mozgása ferde hajítás. A kezdősebesség vízszintes komponense $v_{x}$ , a függőleges $v_{y}$ . A kerék kerületi pontjának sebessége a középpont $v_{0}$ nagyságú, vízszintes irányú sebességéből és a kerületi pont középpont körüli forgásából származó érintőirányú $v_{0}$ sebességből rakható össze. A csepp kezdősebessége tehát az 1. ábra alapján:

\begin{matrix} v_{x} = v_{0} (1 + cos φ), & (1) \\ v_{y} = - v_{0} sin q . & (2) \end{matrix}

1. ábra

y

irányú mozgás

v_{y}

kezdősebességű szabadesés. A megtett út:

\begin{matrix} (d / 2) (1 + cos φ) = - v_{y} t_{1} + (g / 2) t_{1}^{2}, \end{matrix}

(3)

ahol

d

a kerék átmérője. (2)-t beírva

t_{1}

-t kiszámíthatjuk. A fizikailag értelmes (pozitív) gyök:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{\sqrt[]{v_{0}^{2} sin^{2} φ + g d (1 + cos φ)} - v_{0} sin φ}{g} . \end{matrix}

(4)

A csepp vízszintesen megtett útja

\begin{matrix} s_{1} = v_{x} t_{1} . \end{matrix}

A keréknek

v_{0}

sebességgel

s_{1} + l_{1}

utat kell megtennie a sárcsepp eléréséhez

\begin{matrix} s_{1} + l_{1} = v_{0} T_{1} . \end{matrix}

(5)

ahol

\begin{matrix} l_{1} = (d / 2) sin φ . \end{matrix}

(6)

(1), (4), (5) és (6) alapján:

\begin{matrix} T_{1} = \frac{d sin φ}{2 v_{0}} + \frac{\sqrt[]{v_{0}^{2} sin^{2} φ + g d (1 + cos φ)} - v_{0} sin φ}{g} (1 + cos φ) . \end{matrix}

Az adatokat behelyettesítve

\begin{matrix} T_{1} = 0, 17 s . \end{matrix}

b) A sárcsepp függőleges és vízszintes sebességkomponensei az elválás pillanatában (l. a 2. ábrát):

\begin{matrix} v_{x} = v_{0} (1 + cos ϑ), \\ v_{y} = v_{0} sin ϑ . \end{matrix}

2. ábra

Ekkor is tehát az

y

irányú mozgás függőleges hajítás, csak felfelé irányuló kezdősebességgel. A repülési időt két lépésben számoljuk ki.
Az emelkedés ideje:

\begin{matrix} t'_{2} = \frac{v_{0} sin ϑ}{g}, \end{matrix}

míg az emelkedés magassága:

\begin{matrix} h = \frac{v_{0}^{2} sin ϑ}{2 g} . \end{matrix}

Az elért

h

magasságból

t''_{2}

idő alatt esik le

\begin{matrix} t''_{2} = \sqrt[]{\frac{d (1 + cos ϑ) + 2 h}{g}} \end{matrix}

A csepp mozgásának teljes ideje tehát

\begin{matrix} t_{2} = t''_{2} + t'_{2} . \end{matrix}

(7)

Az elmozdulás vízszintes komponense:

\begin{matrix} s_{2} = v_{0} (1 + cos ϑ) t_{2} . \end{matrix}

(8)

A keréknek

s_{2} - l_{2}

utat kell megtennie, ahol

\begin{matrix} l_{2} = (d / 2) sin ϑ . \end{matrix}

(7) és (8) alapján

\begin{matrix} T_{2} = \frac{s_{2} - l_{2}}{v_{0}} = \frac{1 + cos ϑ}{g} (v_{0} sin ϑ + \sqrt[]{g d (1 + cos ϑ) + v_{0}^{2} sin ϑ} - \frac{d sin ϑ}{2 v_{0}}) \end{matrix}

Számértékkel:

\begin{matrix} T_{2} = 2, 07 s . \end{matrix}

Tehát a sárcsepp eléréséhez az első esetben

0, 17 s

, a második esetben

2, 67 s

szükséges.

Guba Kornél (Kazincbarcika, Ságvári E. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Könnyen belátható, hogy a csepp a földetérés előtt nem ütközhet a kerékkel. Rögzítsük megfigyelőnket a kerék középpontjához. Ekkor a leválási pontról a csepp

v_{0}

kezdősebességgel,

φ

szög alatt hajítódik, s az adatokat behelyettesítve látható, hogy a hajítási parabola a kezdőpont után már nem érintkezik a kerékkel.