Feladat:	1663. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Oszlányi Gábor
Füzet:	1981/március, 131 - 133. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Összetartó erők eredője, Tapadó súrlódás, Súrlódási határszög, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/október: 1663. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a rúdra ható erőket az 1. ábrának megfelelően.   1. ábra   Az egyensúly feltétele, hogy ezen erők eredője, valamint forgatónyomatékaik összege zérus legyen. Az utóbbit a rúd talppontjára felírva, ezekből a feltételekből a következő egyenletrendszert kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle K_1-K_2\text{cos}\alpha +S_2\text{sin}\alpha -G=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle S_1+S_2\text{cos}\alpha -K_2\text{sin}\alpha =\mathrm{0,}}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle G\left(l/2\right)\text{cos}\alpha -K_{2}h/\text{sin}\alpha =0.}\hfill & \text{(3)}\end{array}}$ Az $S_1$ és $S_2$ súrlódási erőkre nyilván teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle |S_1|\le {\mu }_1{K}_1\mathrm{,}|S_2|\le {\mu }_2{K}_2\mathrm{.}}\end{array}$ (4) továbbá az elrendezésből következik az $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\ge \text{sin}\alpha \ge h/l}\end{array}$ (5) egyenlőtlenség. ($\text{sin}\alpha =1$ esetén a rúd labilis egyensúlyi helyzetben, függőlegesen áll.) Az (1)‐(3) egyensúlyi egyenletek csak a $K_2$ kényszererőt határozzák meg egyértelműen, $S_1$, $S_2$ és $K_1$ nagysága attól függ, hogyan helyeztük oda a rudat (be van-e "feszítve'' vagy kicsit "húzva''). Azokat az $\alpha$ szögeket, amelyeknél egyensúly lehetséges, a következőképpen kaphatjuk meg. Fejezzük ki az (1)‐(3) egyenletekből $S_1$,-et, ill. $S_2$-t $K_1$ függvényeként: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle S_1=\frac{1}{\text{sin}\alpha }\left[G\left(\frac{l}{2h}\text{sin}\alpha \cdot \text{cos}\alpha \right)-\text{cos}\alpha +K_1\text{cos}\alpha \right]\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>6</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle S_2=\frac{1}{\text{sin}\alpha }\left[G\left(1-\frac{l}{2h}\text{sin}\alpha \cdot \text{cos}{}^2\alpha \right)-K_1\right]\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>7</mn>)}\end{array}}$ Ha van olyan $K_1>0$, hogy $S_1\left(K_1\right)$ és $S_2\left(K_1\right)$ kielégítik a (4) feltételeket, akkor az adott $\alpha$ szög mellett megvalósítható az egyensúly. (3), (4), (6), és (7), alapján kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle K_1\left(\mu +\text{ctg}\alpha \right)\ge G\left[\text{ctg}\alpha -\left(\frac{l}{2h}\right)\text{cos}\alpha \right]\ge K_1\left(\text{ctg}\alpha -{\mu }_1\right)}\end{array}$ (8) és ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle G\left[1+\frac{l}{2h}\text{sin}\alpha \cdot \text{cos}\alpha \left({\mu }_2\text{sin}\alpha -\text{cos}\alpha \right)\right]\ge K_1\ge }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \ge G\left[1-\frac{l}{2h}\text{sin}\alpha \cdot \text{cos}\alpha \left({\mu }_2\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \right)\right]}\hfill & \text{(<mn>9</mn>)}\end{array}}$ A (8) és (9) egyenlőtlenségek jelölik ki ‐ a $K_1>0$ és (5) feltétel figyelembevételével a lehetséges $\alpha$ szögeket és $K_1$ szóba jöhető értékeit. A (8), (9) egyenlőtlenségek algebrai megoldása meglehetősen bonyolult. Adott $l/2h$, ${\mu }_1$ és ${\mu }_2$ értékek mellett azonban grafikus megoldásuk nem jelent nehézséget. A megoldás menete a következő: egy rajzon ábrázoljuk a (8) ill. (9) egyenlőtlenségeket kielégítő ($K_1$, $\alpha$) számpárokat $K_1>0$ esetén. A kettő közös részének az a része, amelyben $\alpha \ge \text{arc}\text{sin}\left(h/l\right)$ tartalmazza azokat az $\alpha$ szögeket és a hozzájuk tartozó lehetséges $K_1$ értékeket, amelyeknél egyensúly lehet.   2. ábra   A 2. ábra a (8), (9) egyenlőtlenségek megoldását mutatja $l/\left(2h\right)=1$, ${\mu }_1=0\mathrm{,}5$, ${\mu }_2=0\mathrm{,}2$ paraméterértékek esetén. A jobbra dőlő vonalkázott tartomány mutatja a (8) egyenlőtlenségeket kielégítő ($K_1$, $\alpha$) párokat, határoló görbéi a ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle K_1/G=\frac{\text{ctg}\alpha -\left[l/\left(2h\right)\right]\text{cos}\alpha }{\text{ctg}\alpha -{\mu }_1}}\hfill & \text{(<mn>10</mn><mi>a</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle K_1/G=\frac{\text{ctg}\alpha -\left[l/\left(2h\right)\right]\text{cos}\alpha }{\text{ctg}\alpha +{\mu }_1}}\hfill & \text{(<mn>10</mn><mi>b</mi>)}\end{array}}$ egyenletű görbék. A balra dőlő vonalkázású tartomány pontjai a (9) egyenlőtlenségeket elégítik ki, ezt a tartományt a ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle K_1/G=1+\left[l/\left(2h\right)\right]\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha \left({\mu }_2\text{sin}\alpha -\text{cos}\alpha \right)\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>11</mn><mi>a</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle K_1/G=1-\left[l/\left(2h\right)\right]\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha \left({\mu }_2\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \right)\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>11</mn><mi>b</mi>)}\end{array}}$ egyenletű görbék határolják. A két tartomány közös része mindkét irányban vonalkázott. Azok a részek, amelyekben $\alpha >\text{arc}\text{sin}\left(h/l\right)$, kétszeres sűrűséggel vonalkázottak. Az ábráról leolvasható, hogy esetünkben két olyan tartomány van a ($K_1$, $\alpha$) síkon, amelynek pontjai kielégítik a (8), (9) valamint az (5) egyenlőtlenségeket. Ennek megfelelően két szögtartomány van, amelyben lehet egyensúly, a ${30}^{\circ }$ és ${46}^{\circ }$ közötti, illetve az ${56}^{\circ }$ és ${90}^{\circ }$ közötti szögek tartománya.    Oszlányi Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)  dolgozata alapján