Kezdőlap


Feladat:	1658. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Gábor
Füzet:	1981/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tapadó súrlódás, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Munkatétel, Teljesítmény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/szeptember: 1658. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az autó mozgását két feltétel korlátozza. A súrlódás miatt gyorsulása minden pillanatban legfeljebb $μ g = 6 {m/s}^{2}$ , másrészről a teljesítmény $N \leq 50 kW$ .
Kezdetben az autó lassan halad, teljesítménye kicsi. Hogy leghamarabb elérje a $100 km/h = 27, 8 m/s$ sebességet, maximális gyorsulással $(a = 6 {m/s}^{2})$ kell az autónak gyorsulnia. Ebben a szakaszban

\begin{matrix} v = a t = (6 {m/s}^{2}) t; F = M a = 3000 N; \\ N = F v = (18 kW/s) \cdot t . \end{matrix}

Ezt a gyorsulást természetesen csak addig bírja tartani a motor, míg a teljesítmény el nem éri a maximális értéket. Ezt a

\begin{matrix} (18 kW/s) \cdot t_{1} = 50 kW \end{matrix}

egyenlettel meghatározott

\begin{matrix} t_{1} = 2, 77 s \end{matrix}

értéknél éri el. Ekkor a sebesség, az erő és a teljesítmény

\begin{matrix} v_{1} = 16, 6 m/s; F_{1} = 3000 N; \\ N_{1} = 50 kW . \end{matrix}

Ezután az erőt csökkenteni kell, mégpedig olyan mértékben, hogy a teljesítmény legyen állandó. Ez akkor teljesül, ha a mozgási energia az idő lineáris függvénye.

\begin{matrix} (1 / 2) M v^{2} = A + N t . \end{matrix}

Mivel a

t = t_{1}

időben a mozgási energia

(1 / 2) M v_{1}^{2}

, tehát

A = (1 / 2) M v_{1}^{2} - N t_{1}

, és így

\begin{matrix} (1 / 2) M v^{2} = (1 / 2) M v_{1}^{2} + N (t - t_{1}), \end{matrix}

amiből

t > t_{1}

-re

\begin{matrix} v = \sqrt[]{v_{1}^{2} + (2 N / M) (t - t_{1})} = \sqrt[]{(2 N / M) [t - (t_{1} / 2)]} = 14, 1 {m/s}^{3 / 2} \sqrt[]{t - (t_{1} / 2)}; \\ F = \frac{N}{v} = \sqrt[]{\frac{m N}{2}} \frac{1}{\sqrt[]{t - (t_{1} / 2)}} = 3, 53 \cdot 10^{3} N s^{1 / 2} \frac{1}{\sqrt[]{t - (t_{1} / 2)}}; \\ N = 50 kW . \end{matrix}

Ilyen összefüggés szerint kell optimálisan változtatni a sebességet

27, 8 m/s

-ig, amiből

t_{2} = 5, 2 s

adódik.
Tehát a feladatban szereplő autó

5, 2 s

alatt gyorsíthat fel

100 km/h

sebességre. A sebesség‐idő, erő‐idő és teljesítmény‐idő grafikont mutatja az ábra.

Horváth Gábor (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., IV. o. t.)