A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A félgömb nem csúszik meg a lejtőn, ha a rá ható erők eredője nulla. A lejtő nyomóereje (N) és a súrlódási erő (S) az ábra alapján:
A tapadás feltételébe beírva a szokásos feltétel adódik. Vizsgáljuk meg most azt az esetet, amikor és a félgömb tisztán csúszik! Ekkora félgömb a lejtővel párhuzamos gyorsulással mozog, szimmetriatengelyének a lejtőre bocsátott merőlegessel bezárt szöge állandó. Írjuk fel Newton II. törvényét a lejtővel párhuzamos és az arra merőleges összetevőkre:
ahol a csúszás miatt A félgömb nem forog, tehát a rá ható forgatónyomatékok eredője nulla. Vigyáznunk kell azonban, hogy melyik pontra írjuk fel a nyomatéki egyenletet! Mivel a félgömb nincs nyugalomban, nem igaz az a sztatikában érvényes állítás, hogy a vonatkoztatási pont tetszőleges. A dinamika törvényei szerint kell eljárnunk, tehát a mozgást a tömegközéppont haladó mozgására és a tömegközéppont körüli forgásra kell bontanunk. A nyomatéki egyenlet tehát ahol a tömegközéppontnak a gömb középpontjától mért távolsága. A (4)‐(7) egyenletrendszer másodfokú egyenletre vezet, melynek megoldása: | | (8) | A diszkrimináns nem lehet negatív, innen . Ha ez a feltétel nem teljesül, a félgömb sík lapjára fordul. Könnyen belátható, hogy megfelelő értékeinél adódik. Ha a félgömböt egy súlytalan másik félgömbbel teljes gömbbé egészíthetjük ki, amelynek súlypontja középpontjától távolságra van, mindkét értékének fizikai értelem tulajdonítható: a pozitív előjelhez tartozó megoldás stabil, a negatív instabil helyzetnek felel meg. Félgömb esetében , különben a félgömb sík lapjára billen. akkor lesz a negatív előjelet véve is pozitív, ha , ahonnan . Összefoglalva, ha és így a félgömb csúszik, szimmetriatengelyének a függőlegessel bezárt szöge | | (9) | Ha , csak a pozitív előjelet véve kapunk megoldást, ez stabil egyensúlyi helyzetnek felel meg. esetén a negatív előjelnek megfelelő instabil egyensúlyi helyzet is megjelenik. növelésével a két gyök közeledik egymáshoz, esetén egyenlővé válik. Ennél nagyobb súrlódási együtthatók (és miatt nagyobb hajlásszögű lejtők) esetén a félgömb mindenképpen sík lapjára fordul. Jeney Tamás (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján
|
|