Feladat: 1657. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Jeney Tamás ,  Károlyi Gyula ,  Lóczy Géza ,  Oszlányi Gábor 
Füzet: 1981/február, 89 - 90. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb merev test síkmozgások, Csúszó súrlódás, Súrlódási határszög, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/szeptember: 1657. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.


A félgömb nem csúszik meg a lejtőn, ha a rá ható erők eredője nulla. A lejtő nyomóereje (N) és a súrlódási erő (S) az ábra alapján:
S=mgsinα,(1)N=mgcosα.(2)


A tapadás SμN feltételébe beírva a szokásos
μtgα(3)
feltétel adódik.
 

Vizsgáljuk meg most azt az esetet, amikor μtgα és a félgömb tisztán csúszik! Ekkora félgömb a lejtővel párhuzamos gyorsulással mozog, szimmetriatengelyének a lejtőre bocsátott merőlegessel bezárt β szöge állandó. Írjuk fel Newton II. törvényét a lejtővel párhuzamos és az arra merőleges összetevőkre:
mgsinα-S=ma,(4)mgcosα-N=0,(5)


ahol a csúszás miatt
S=μN.(6)
A félgömb nem forog, tehát a rá ható forgatónyomatékok eredője nulla. Vigyáznunk kell azonban, hogy melyik pontra írjuk fel a nyomatéki egyenletet! Mivel a félgömb nincs nyugalomban, nem igaz az a sztatikában érvényes állítás, hogy a vonatkoztatási pont tetszőleges. A dinamika törvényei szerint kell eljárnunk, tehát a mozgást a tömegközéppont haladó mozgására és a tömegközéppont körüli forgásra kell bontanunk. A nyomatéki egyenlet tehát
Ndsinβ=S(R-dcosβ),(7)
ahol d=(3/8)R a tömegközéppontnak a gömb középpontjától mért távolsága. A (4)‐(7) egyenletrendszer másodfokú egyenletre vezet, melynek megoldása:
cosβ=8μ2±9-55μ23(1+μ2).(8)
A diszkrimináns nem lehet negatív, innen μ3/55. Ha ez a feltétel nem teljesül, a félgömb sík lapjára fordul. Könnyen belátható, hogy μ megfelelő értékeinél |cosβ|1 adódik.
Ha a félgömböt egy súlytalan másik félgömbbel teljes gömbbé egészíthetjük ki, amelynek súlypontja középpontjától d távolságra van, β mindkét értékének fizikai értelem tulajdonítható: a pozitív előjelhez tartozó megoldás stabil, a negatív instabil helyzetnek felel meg. Félgömb esetében β90, különben a félgömb sík lapjára billen. cosβ akkor lesz a negatív előjelet véve is pozitív, ha 8μ29-55μ2, ahonnan μ3/8.
 

Összefoglalva, ha μtgα és így a félgömb csúszik, szimmetriatengelyének a függőlegessel bezárt szöge
α+β=α+arccos8μ2±9-55μ23(1+μ2)(9)
Ha 0<μ3/8, csak a pozitív előjelet véve kapunk megoldást, ez stabil egyensúlyi helyzetnek felel meg. 3/8<μ<3/55 esetén a negatív előjelnek megfelelő instabil egyensúlyi helyzet is megjelenik. μ növelésével a két gyök közeledik egymáshoz, μ=3/55 esetén egyenlővé válik. Ennél nagyobb súrlódási együtthatók (és tgαμ miatt nagyobb hajlásszögű lejtők) esetén a félgömb mindenképpen sík lapjára fordul.
 

 Jeney Tamás (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)
 dolgozata alapján