Feladat:	1650. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hudi István ,  Krausz Ferenc ,  Szállási Zoltán ,  Szalontai Zoltán
Füzet:	1981/január, 44 - 45. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/május: 1650. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vizsgáljuk a rendszer mozgását az ábrán látható helyzetben, azaz akkor, amikor $m_1$ és $m_2$ érintkezik az $M$ tömegű hasábbal és a kötél feszes. Az ábrán látható jelölésekkel ennek feltétele: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle N_1\ge }& {\displaystyle \mathrm{0,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle N_2\ge }& {\displaystyle \mathrm{0,}}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle K\ge }& {\displaystyle 0.}\hfill & \text{(3)}\end{array}}$ Legyen $m_1\mathrm{,}{m}_2$ és $M$ gyorsulása $a_1\mathrm{,}{a}_2$, ill. $A$. Írjuk fel Newton II. törvényét az $M$ tömegű hasáb esetén a lejtővel párhuzamos komponensekre, $m_1$ és $m_2$ esetén a vízszintes és függőleges összetevőkre: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle MA=Mg\text{sin}\alpha +}& {\displaystyle N_1\text{sin}\alpha -K\left(\text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)-N_2\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\hfill & \text{(4)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle m_1{a}_{1x}=K\mathrm{,}}\hfill & \text{(5)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle m_1{a}_{1y}=m_{1}g-N_1\mathrm{,}}\hfill & \text{(6)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle m_2{a}_{2x}=N_2\mathrm{,}}\hfill & \text{(7)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle m_2{a}_{2y}=m_{2}g-K\mathrm{.}}\hfill & \text{(8)}\end{array}}$ (Nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy a kötélerő a csiga közvetítésével a $M$ tömegű hasábra is hat !) Mivel $m_1$ és $m_2$ érintkezik $M$-mel: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle a_{1y}=A\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\hfill & \text{(9)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle a_{2x}=A\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\hfill & \text{(10)}\end{array}}$ Mivel a kötél nyújthatatlan, a hasábhoz viszonyítva $m_1$ vízszintes és $m_2$ függőleges gyorsulása megegyezik: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{1x}-A\text{cos}\alpha =a_{2y}-A\text{sin}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (11) Oldjuk meg $A$-ra a (4)‐(11) egyenletrendszert ! $\begin{array}{c}{\displaystyle A=g\frac{\left(M+m_1\right)\left(m_1+m_2\right)\text{sin}\alpha +m_1{m}_2\left(\text{sin}\alpha -\text{cos}\alpha \right)}{M\left(m_1+m_2\right)+2m_1{m}_2+{\left(m_1\text{sin}\alpha -m_2\text{cos}\alpha \right)}^2}}\end{array}$ (12) $m_1$ és $m_2$ gyorsulását az adatokkal és $A$-val fejezzük ki: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle a_{1x}=\frac{m_2}{m_1+m_2}\left[g+A\left(\text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)\right]\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>13</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle a_{1y}=A\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>14</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle a_{2x}=A\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>15</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle a_{2y}=\frac{m_2}{m_1+m_2}g-\frac{m_1}{m_1+m_2}A\left(\text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \right)\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>16</mn>)}\end{array}}$ Ezek az eredmények csak akkor érvényesek, ha az (1)‐(3) feltételek teljesülnek. Az egyenletrendszer eredményeit felhasználva ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle N_1=m_1\left(g-A\text{sin}\alpha \right)\le 0\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ahonnan</span>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \le \frac{M\left(m_1+m_2\right)+m_2\left(2m_1+m_2\right)}{m_1{m}_2}\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>17</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle N_2=m_{2}A\text{cos}\alpha \ge 0\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ahonnan</span>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \ge \frac{m_1{m}_2}{M\left(m_1+m_2\right)+m_1\left(2m_2+m_1\right)}\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>18</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle K=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}\left(g-A\text{sin}\alpha +A\text{cos}\alpha \right)\ge 0\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ez a feltétel azonban mindig teljesül, ha (17) és (18) teljesül. Az $N_2\ge 0$ feltétel azonos az $A\ge 0$ feltétellel, eredményünk tehát csak akkor érvényes, ha a hasáb a lejtőn lefelé gyorsul. Ellenkező esetben $m_2$ ,,lemarad'' a felfelé gyorsuló hasábtól; ha van idő stacionárius állapot elérésére anélkül, hogy $m_1$ vagy $m_2$ elhagyná a hasábot, ebben a helyzetben az $m_2$-t tartó kötél a függőlegessel állandó szöget zár be. Hasonlóan, ha $N_1<0$ adódik, tehát a lejtő nagyon meredek, az induláskor $m_1$ leválik a hasábról $\left(a_{1y}<A\text{sin}\alpha \right)$, hosszabb idő után a hozzá csatlakozó kötél a vízszintessel állandó szöget zár be.     Krausz Ferenc (Mór, Táncsics M. Gimn. IV. o. t.)