Feladat:	1644. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Gábor
Füzet:	1981/január, 39. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Telített gőz, Rugalmas erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/április: 1644. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) A dugattyút az $A$ keresztmetszetű, $2l$ hosszúságú csőben mozdítsuk el $x$ távolságra a középhelyzetéből. A kezdeti $p_0$ nyomás a bal oldali térrészben $p_b$-re csökken, a jobb oldali tartályban pedig $p_j$-re növekszik. A folyamat során a hőmérséklet állandó, ezért a két nyomásértéket a Boyle-Mariotte-törvényből számíthatjuk ki: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle p_b=p_0\frac{V_0+lA}{V_0+lA+xA}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle p_j=p_0\frac{V_0+lA}{V_0+lA-xA}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ ahol $V_0$ a tartály térfogatát jelöli. A dugattyúra ható erő $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\left(p_b-p_j\right)A\mathrm{,}}\end{array}$ (3) amiből (1) és (2) felhasználásával kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=-\frac{2p_0{A}^2}{V_0+lA}\cdot \frac{1}{1-{\left(\frac{A}{v_0+lA}\right)}^2{x}^2}\cdot x\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Ha csak kis elmozdulást engedünk meg $\left(x\ll l+\frac{V_0}{A}\right)$, akkor ez az erő a kitéréssel egyenesen arányos és ellentétes irányú. Az egyensúlyi helyzetéből kicsit kimozdított dugattyú harmonikus rezgőmozgást végez a középső helyzet körül. Mivel az $x\ll l+\frac{V_0}{A}=16\mathrm{,}2\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}$ feltétel nagyon jól teljesül a dugattyú $0\mathrm{,}5\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}$-es elmozdítására, ezért gyakorlatilag lineárisan változó erő ellenében történő munkavégzéssel számolhatunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=\frac{1}{2}{F}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">max</span>}}\cdot l=\frac{p_{0}Al}{1+\frac{V_0}{Al}}\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Numerikusan: $W=0\mathrm{,}96\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">J</span>}$. A fenti becslés nagyon jónak minősíthető, hiszen az egzakt (4) alatti függvénnyel kiszámolt határozott integrál $\left(W=\underset{0}{\overset{l}{\int }}F\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">d</span>}x\right)$ a mérési hibán belül visszaadja a $0\mathrm{,}96\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">J</span>}$ értéket. b) A saját folyadékjával érintkező gőz nyomása állandó, független a térfogattól. Ha a térfogatnövekedés során mindig marad kevés víz a tartályokban, akkor a csőben levő dugattyú helyzete közömbös, elmozdításához nem szükséges munkát végezni.    Horváth Gábor (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., III. o. t.)  dolgozata alapján